线代复习

一、行列式的定义

1 几何定义法

　　二维 面积   三维 体积  多维 体积

　　一行向量和二行向量的面积

　　一行向量和二行向量和三行向量的体积

　　面积 + 体积

　　

　　行列式的值为0则线性相关，不为0则无关

　　

2 逆序数法

　　1）展开后有n！个项

　　2）每项是取自不同行，不同列n个元素的乘积

　　3）行下标顺排后，每项乘以 (-1) tao(j1j2..jn)次方

　　其中称a1a2...an叫一个n级排列若a1<a2,则a1a2叫顺序，a2a1叫逆序

　　一个n级排列的总的逆序数记为   tao(a1a2...an)

3 展开式法定义（展开定理）

　　1）余子式：  Mij 去掉i行j列去掉 剩余的行列式叫余子式

　　2) 代数余子式： Aij = (-1)的(i+j)次方Mij

　　3) 展开公式：本质（降阶）

　　　　Dn = |Anxn| =  | ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin  按第i行展开    行列式

　　　　　　　　　　  |  a1jAij + a2jA2j + ... + anjAnj  按第j列展开

　　　　注：哪一行（列）含0最多，就按其展开。

　　　　| 我 0 生 |

　　　　| 0 有 0  |    = 我有幸一生有你

　　　　| 你 0 幸 |

行列式的计算

　

1 具体型计算

　　1 消0化三角形法

　　　　1）七大性质   尤其  互换 倍乘 倍加

　　　　2） 三角行列式

2 抽象型计算　

3 关于展开式法的逆用

矩阵

　　1 定义与运算（加、减、乘）   行列式不得0有除法

　　2 可逆矩阵     |

　　3 伴随矩阵　  |        5 求A-1 （逆）

　　4 初等矩阵     |

　　6 矩阵方程　　

　　总结：任何方阵都有伴随矩阵

一、 定义与运算

1 定义：

　　由n个m维向量 a1={}...a2={}组成，记Amxn

　　当n=m时，称n阶矩（方）阵

2 基本运算

　　1）加法

　　　　A+B = (aij+bij)mxn   1 同型  2 对应加

　　2）数乘

　　　　k*A = (kaij)mxn  每和aij均要乘以k

　　注意：加法和数乘统称为线性运算

　　　　　A-B = A+(-1)*B

　　3）乘法    非线性运算

　　　　Amxn * Bnxs = Cmxs = (Cij)mxs

　　　　（1）A的行数=B的列数

　　　　（2）Cij是A的第i行元素与B的第j列元素的 内积

　　注意：

　　　　1 |kAnxn| = k的n次方|Anxn|

　　　　2 |AB| = |A||B|, Anxn,Bnxn 同阶方阵

 

二、性质

　　猫狗  =  E

　　1 （A-1）-1 = A

　　2 k！=0，（kA）-1 = 1/kA-1

　　3 （AB）-1 = B-1A-1     穿脱原则

　　4 （AT）-1 = （A-1）T

　　5 |A-1| = 1/|A|

三、伴随矩阵

　　A* =