一、斐波那契数列（递归VS动态规划）
1、斐波那契数列——递归实现（python语言）——自顶向下
递归调用是非常耗费内存的，程序虽然简洁可是算法复杂度为O(2^n)，当n很大时，程序运行很慢，甚至内存爆满。
1 def fib(n): 2 #终止条件，也就是递归出口 3 if n == 0 or n == 1: 4 return 1 5 else: 6 #递归条件 7 return (fib(n-1) + fib(n - 2))
2、斐波那契数列——动态规划实现（python语言）——自底向上
动态规划——将需要重复计算的问题保存起来，不需要下次重新计算。对于斐波那契数列，算法复杂度为O（n）。
1 def dp_fib(n): 2 #初始化一个数组，用于存储记录计算的结果。 3 res = [None] * (n + 1) 4 #前两项设置为1。 5 res[0] = res[1] = 1 6 #自底向上，将计算结果存入数组内。 7 for i in range(2, (n + 1)): 8 res[i] = res[i-1] + res[i-2] 9 return res[n]
3、方法概要
（1）构造一个公式，它表示一个问题的解是与它的子问题的解相关的公式：
（2）为这些子问题做索引，以便于它们能够在表中更好的存储与检索（用数组存储）。
（3）以自底向上的方法来填写这个表格；首先填写最小的子问题的解。
（4）这就保证了当我们解决一个特殊的子问题时，可以利用比它更小的所有可利用的子问题的解。
总之，因为在上世纪40年代（计算机普及很少时），这些规划设计是与“列表”方法相关的，因此被称为动态规划——Dynamic Programing。
二、动态规划算法——思想简介
1、DP算法思想
（1）将待求解的问题分解称若干个子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，并由子问题的解得到原问题的解。
（2）动态规划算法通常用于求解具有某种最有性质的问题。
（3）动态规划算法的基本要素：最优子结构性质和重叠子问题。
最优子结构性质：问题的最优解包含着它的子问题的最优解。即不管前面的策略如何，此后的决策必须是基于当前状态（由上一次的决策产生）的最优决策。
重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些问题被反复计算多次。对每个子问题只解一次，然后将其解保存起来，
以后再遇到同样的问题时就可以直接引用，不必重新求解。
2、DP算法——解决问题的基本特征
（1）动态规划一般求解最值（最优、最大、最小、最长）问题；
（2）动态规划解决 的问题一般是离散的，可以分解的（划分阶段的）。
（3）动态规划结局的问题必须包含最优子结构，即可以有（n-1）的最优推导出n的最优。
3、DP算法——解决问题的基本步骤
动态规划算法的四个步骤：
（1）刻画最优解的结构特性。（一维、二维、三维数组）；
（2）递归的定义最优解。（状态转移方程）
（3）以自底向上的方法来计算最优解。
（4）从计算得到的解来构造一个最优解。
4、求解例子——求阶乘 n!
1 #递归实现求阶乘 2 def multiply(n): 3 if n == 0 or n == 1: 4 return 1 5 return n * multiply(n -1) 6 7 8 #动态规划实现求阶乘 9 def dp_multiply(n): 10 temp = [None] * (n + 1) 11 temp[0] = 1 12 temp[1] = 1 13 for i in range(2, n + 1): 14 temp[i] = i * temp[i - 1] 15 return temp[n]
三、动态规划——常见例题
1、求解最长不降子序列
（1）方法一：普通方法，算法复杂度为O（n^2）。
假设原始的数列为数组 a
分析：
刻画结构特性：用F[ i ] 表示前 i 项最长不下降子序列的长度；
状态转移方程：如果a [ i ] >=a [ j ], F[i] = max(F[i], F[j] + 1) 其中，0 <= j < i
数据存储：自底向上求解最小子结构最优解存入数组
其中，pre[ i ]表示以元素a [ i ] 为结尾的最长不降序列的前一个元素索引（也就是以a[i]结尾的最长不降序列的倒数第二个元素）。存储这个值是为了方便输出最长的不降序列。
1 def Longest_Increaseing(a): 2 F = [1] * len(a) 3 pre = [0] * len(a) 4 for i in range(1, len(a)): 5 for j in range(i): 6 if a[i] >= a[j]: 7 F[i] = max(F[i], F[j] + 1) 8 pre[i] = j 9 return F, pre 10 a = [5,2,8,6,3,6,9,7] 11 F, pre = Longest_Increaseing(a)
#这里只是能获得两个数组，其中F[i]的最大值就是最长不降序列的长度。
接下来，输出最长的不降序列的元素值，请看下面的代码：
1 def Longest_Increaseing(a): 2 F = [1] * len(a) 3 pre = [0] * len(a) 4 for i in range(1, len(a)): 5 for j in range(i): 6 if a[i] >= a[j]: 7 F[i] = max(F[i], F[j] + 1) 8 pre[i] = j 9 return F, pre 10 a = [5,2,8,6,3,6,9,7] 11 F, pre = Longest_Increaseing(a) 12 13 #最长序列的索引 14 k = F.index(max(F)) 15 #输出序列的列表 16 result = [None] * F[k] 17 flag = True 18 Len = F[k] 19 while flag: 20 result[Len - 1] = a[k] 21 k = pre[k] 22 if k == 0: 23 flag = False 24 Len -= 1 25 print(result)
#输出结果：[2, 3, 6, 9]
（2）方法二：时间复杂度为O（n * log(n)）
参考博文：最长不下降子序列 NlogN && 输出序列 https://www.cnblogs.com/milky-w/p/8431333.html
2、求解最长的公共子序列
求解最长公共子序列代码如下（python语言）：
1 import numpy as np 2 def LCS(str1, str2): 3 #获取两个序列的长度 4 m = len(str1) 5 n = len(str2) 6 #生成一个存储计算子问题的二位矩阵，并将元素初始化为0。 7 #这个矩阵的尺寸比两个序列的尺寸分别大1个单位。 8 #对于这个矩阵，第一行和第一列元素值必然为0。 9 #C[i][j]的含义是：Xi = （x1, x2, x3,..., xi）和Yj = （y1, y2, x3,..., yj）的最长公共子序列 10 C = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int) 11 b = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int) 12 13 for i in range(1, m+1): 14 for j in range(1, n+1): 15 #请注意这里为什么是i-1和j-1，因为其实C[1][1]表示的是 16 # 两个序列的首个元素的最长公共子序列，对应的是str1[0]和str2[0] 17 if str1[i-1] == str2[j-1]: 18 C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1 19 b[i][j] = 1 #表示对角线方向 20 else: 21 if C[i][j-1] <= C[i-1][j]: 22 b[i][j] = 2 #表示朝上方向 23 else: 24 b[i][j] = 3 #表示朝左方向 25 C[i][j] = max(C[i][j-1], C[i-1][j]) 26 return C, b 27 28 test1 = ['b', 'd','c', 'a', 'b', 'a'] 29 test2 = ["a","b","c","b","d","a","b"] 30 a, b = LCS(test2, test1) 31 32 print(a)
#矩阵a存储的是公共子序列的长度，最大值就是最大公共子序列的长度
[[0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 1 1 1]
[0 1 1 1 1 2 2]
[0 1 1 2 2 2 2]
[0 1 1 2 2 3 3]
[0 1 2 2 2 3 3]
[0 1 2 2 3 3 4]
[0 1 2 2 3 4 4]]
33 print(b)
#这里： 1表示对角线方向、2表示朝上、3表示朝左，主要是为了求具体的子序列用的。
[[0 0 0 0 0 0 0]
[0 2 2 2 1 3 1]
[0 1 3 3 2 1 3]
[0 2 2 1 3 2 2]
[0 1 2 2 2 1 3]
[0 2 1 2 2 2 2]
[0 2 2 2 1 2 1]
[0 1 2 2 2 1 2]]
接下来是输出最长公共子序列：
1 import numpy as np 2 def LCS(str1, str2): 3 #获取两个序列的长度 4 m = len(str1) 5 n = len(str2) 6 #生成一个存储计算子问题的二位矩阵，并将元素初始化为0。 7 #这个矩阵的尺寸比两个序列的尺寸分别大1个单位。 8 #对于这个矩阵，第一行和第一列元素值必然为0。 9 #C[i][j]的含义是：Xi = （x1, x2, x3,..., xi）和Yj = （y1, y2, x3,..., yj）的最长公共子序列 10 C = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int) 11 b = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int) 12 13 for i in range(1, m+1): 14 for j in range(1, n+1): 15 #请注意这里为什么是i-1和j-1，因为其实C[1][1]表示的是 16 # 两个序列的首个元素的最长公共子序列，对应的是str1[0]和str2[0] 17 if str1[i-1] == str2[j-1]: 18 C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1 19 b[i][j] = 1 #表示对角线方向 20 else: 21 if C[i][j-1] <= C[i-1][j]: 22 b[i][j] = 2 #表示朝上方向 23 else: 24 b[i][j] = 3 #表示朝左方向 25 C[i][j] = max(C[i][j-1], C[i-1][j]) 26 return C, b 27 28 def Print_Lcs(b, X, i , j): 29 if i == 0 or j == 0: 30 return 31 if b[i][j] == 1: 32 Print_Lcs(b, X, i-1, j-1) 33 print(X[i-1]) #为什么是i-1，因为b矩阵的行比X的行长一个单位，而且只输出相等的值，表示公共元素。 34 elif b[i][j] == 2: 35 Print_Lcs(b, X, i-1, j) 36 else: 37 Print_Lcs(b, X, i, j-1) 38 39 40 if __name__ == '__main__': 41 test1 = ['b', 'd','c', 'a', 'b', 'a'] 42 test2 = ["a","b","c","b","d","a","b"] 43 a, b = LCS(test2, test1) 44 Print_Lcs(b, test2, 7, 6)
#输出的结果是: b、c、b、a 。(请注意这里结果不唯一，因为最长子序列长度为4， 存在三个序列长度为4的子序列)