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  • Pairs Forming LCM 在a,b中(a,b<=n)(1 ≤ n ≤ 10^14),有多少组(a,b) (a<b)满足lcm(a,b)==n; lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pn ^ max(an,bn)

    转自:http://www.cnblogs.com/shentr/p/5285407.html
    
    http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=109329#problem/B    全题在文末。
    
    题意:在a,b中(a,b<=n)(1 ≤ n ≤ 10^14),有多少组(a,b)  (a<b)满足lcm(a,b)==n;
    
     
    
    先来看个知识点:
    
    素因子分解:n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en
    
    for i in range(1,n):
    
            ei 从0取到ei的所有组合
    
    必能包含所有n的因子。
    
    现在取n的两个因子a,b
    
    a=p1 ^ a1 * p2 ^ a2 *..........*pn ^ an
    
    b=p1 ^ b1 * p2 ^ b2 *..........*pn ^ bn
    
    gcd(a,b)=p1 ^ min(a1,b1) * p2 ^ min(a2,b2) *..........*pn ^ min(an,bn)
    
    lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pn ^ max(an,bn)
    
    哈哈,又多了种求gcd,lcm的方法。
    
     
    
    题解:
    
    先对n素因子分解,n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pk ^ ek,
    
    lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pk ^ max(ak,bk)
    
    所以,当lcm(a,b)==n时,max(a1,b1)==e1,max(a2,b2)==e2,…max(ak,bk)==ek
    
    当ai == ei时,bi可取 [0, ei] 中的所有数  有 ei+1 种情况,bi==ei时同理。
    
    那么就有2(ei+1)种取法,但是当ai = bi = ei 时有重复,所以取法数为2(ei+1)-1=2*ei+1。
    除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次  那么满足a<=b的有 (2*ei + 1)) / 2 + 1 个
    
     
    
     
    复制代码
    
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int N=1e7+5;
    const int NN=1e6;
    unsigned int prime[NN],cnt;           //prime[N]会MLE
    bool vis[N];
    
    void is_prime()
    {
        cnt=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=2;i<N;i++)
        {
            if(!vis[i])
            {
                prime[cnt++]=i;
                for(int j=i+i;j<N;j+=i)
                {
                    vis[j]=1;
                }
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        is_prime();
        int t;
        cin>>t;
        for(int kase=1;kase<=t;kase++)
        {
            LL n;
            cin>>n;
            int ans=1;
            for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
            {
                if(n%prime[i]==0)
                {
                    int e=0;
                    while(n%prime[i]==0)
                    {
                        n/=prime[i];
                        e++;
                    }
                    ans*=(2*e+1);
                }
            }
            if(n>1)
                ans*=(2*1+1);
            printf("Case %d: %d
    ",kase,(ans+1)/2);
        }
    }
    
    复制代码
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/xiaochaoqun/p/6636985.html
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