C Looooops 扩展欧几里得

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题目：C Looooops
链接：https://vjudge.net/contest/154246#problem/S
题意：for(i = a; i!=b; i = (i+c)%(2^k)) statement;  求statement执行的次数。
思路：
设：次数为x, 最终A=k*mod+b；
mod = 2^k;

(a + c*t)%mod = b

a + c*t = mod*k + b;

mod*k - c*t = a-b; //1

c*t - mod*k = b-a; //2

采用第二个式子进行欧几里得处理。我原先第一个错了。保证求解的常数为正数。

以下来源于：http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595

求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，
比如一个数对于另一个数的乘法逆元什么叫乘法逆元？
这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的
这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？
我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

可以这样思考：
x 的通解不是 x0 + m*t 吗？

那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，
它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，
所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？
当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数
（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，
然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5+10;
const double eps = 1e-6;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll ext_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){
        x = 1, y = 0; return a;
    }
    ll ret = ext_gcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp-a/b*y;
    return ret;
}
int main()
{
    ll a, b, c, k, mod;
    while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&k)!=EOF&&k)
    {
        ll xx, yy, aa, bb, cc, d;
        mod = 1LL<<k;
        aa = c;
        bb = mod;
        cc = b-a;
        d = gcd(aa,bb);
        if(cc%d!=0){
            printf("FOREVER
"); continue;
        }
        d = ext_gcd(aa,bb,xx,yy);
        ll t = xx*(cc/d);
        ll add = bb/d;
        if(add<0) add = -add;
        t %= add;
        if(t<0) t+=add;///结果可以为0，所以这里<0;如果题目结果一定>0。那么这里<=0;
        printf("%I64d
",t);

    }
    return 0;
}