2017-5-14 湘潭市赛 Longest Common Subsequence 想法题

Longest Common Subsequence
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Longest Common Subsequence

Bobo has a sequence A=(a1,a2,…,an) of length n. He would like to know f(0),f(1),f(2) and f(3) where f(k) denotes the number of integer sequences X=(x1,x2,x3) where:

    1≤x1,x2,x3≤m;
    The length of longest common subsequence of A and X is exactly k.

Note:

    u is a subsequence of v if and only if u can be obtained by removing some of the entries from v (possibly none).
    u is common subsequence of v and w if and only if u is subsequence of v and w.

Input

The input contains zero or more test cases and is terminated by end-of-file. For each case,

The first line contains two integers n,m. The second line contains n integers a1,a2,…,an.

    1≤n≤200
    1≤m,a1,a2,…,an≤106
    The number of tests cases does not exceed 10.

Output

For each case, output four integers which denote f(0),f(1),f(2),f(3).
Sample Input

3 3
1 2 2
5 3
1 2 3 2 1

Sample Output

1 14 11 1
0 1 17 9

Note

For the second sample, X=(3,3,3) is the only sequence that the length of longest common subsequence of A and X is 1. Thus, f(1)=1.

Source
XTU OnlineJudge 

/**
题目：Longest Common Subsequence
链接：http://202.197.224.59/OnlineJudge2/index.php/Problem/read/id/1265
题意：给定序列A，含n个数。和一个数m；
有一个X序列{x1,x2,x3}，x1,x2,x3来自[1,m]区间内的数。

设：f(k)表示两个序列的最长公共子序列为k；

求序列X和A满足f(0),f(1),f(2),f(3)的X各有多少种。

思路：f(0)易求。计算出n个数中在m范围内的不同数的数量为cnt，然后计算(m-cnt)^3即可。

对n个数中<=m的数，离散化。

要求f(1),f(2),f(3);
f(3)的X序列内的数一定是n个数中获得。
f(2)的X序列内的数有两种来源，一种是三个数从n个数中获得，然后Longest Common Subsequence为2；
另一种是其中两个是n个数中获得，然后Longest Common Subsequence为2，另外一个是<=m的不包含n个数的数中获得。
f(1)的X序列内的数有三种来源，一种是3个数从n个数中获得，然后Longest Common Subsequence为1；
另一种是两个数从n个数中获得，然后Longest Common Subsequence为1；另外一个是是<=m的不包含n个数的数中获得。
另一种是其中一个是n个数中获得，然后Longest Common Subsequence为1，另外二个是<=m的不包含n个数的数中获得。

设：cnt表示n个数中<=m的数。kind表示n个数中<=m的不同数的种类。m-kind表示不包含n个数的数的种数。

枚举x1,x2,x3全是n个数组成的X序列，所有xi都枚举所有的n个数。

这些序列包含f(3),f(2)第一种来源，f(1)第一种来源的情况数。计算方法：一种是常规的Longest Common Subsequence 的dp求法，但是总时间复杂度为O(N^4);
更好的做法是：预处理next[i][j]表示i这个位置右边第一次出现j这个数的位置。那么可以O(1)判断X序列的Longest Common Subsequence为k。把它们更新到f(k)中。
flag[a[i]][a[j]][a[k]]表示这个序列可以匹配的最大LCS；取最值，最后遍历计算即可。

剩下要求f(2)的第二种来源,f(1)的第二种来源和第三种来源。
f(2)第二种来源：三种可能(x1,x2),(x2,x3),(x1,x3)位置，Longest Common Subsequence为2，另一个位置为m-kind中取。 其实情况数是一样的。f(2) += 3*Q(cnt)*(m-kind);
Q(cnt)表示cnt个数中找到与A序列的Longest Common Subsequence为2的序列数量。暴力枚举两个位置，同上面说的方法。

f(1)第二种来源：三种可能(x1,x2),(x2,x3),(x1,x3)位置,但是Longest Common Subsequence为1；另外一个位置从m-kind中取。 f(1) += 3*P(cnt)*(m-kind);
f(1)第三种来源：三种可能x1,x2,x3位置相同，另外两个位置为m-kind中取。f(1) += 3*kind*(m-kind)*(m-kind);


思考：为什么要用next[i][j]表示i这个位置右边第一次出现j这个数的位置。而不是直接next[i][j]表示j这个数是否在i的右边。
假设： 2 2
那么枚举出来2 2 2. 如果用后者所述定义，那么答案就是3了。实际上只能是2.
*/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> P;
const int maxn = 1e5+100;
int flag[202][202][202];
int sign[202][202];
int mark[1000005];
int n, m;
int cnt , kind;
LL f[4];
int a[202], z;
int Next[202][202];
set<int> se;
void NextInit()
{
    for(int i = 0; i < z; i++){
        for(int j = i+1; j < z; j++){
            if(Next[i][a[j]]==-1){
                Next[i][a[j]] = j;
            }
        }
    }
}
void lisan()
{
    int cnt = 1;
    set<int>::iterator it;
    for(it = se.begin(); it!=se.end(); it++){
        mark[*it] = cnt;
        cnt++;
    }
    for(int i = 0; i < z; i++){
        a[i] = mark[a[i]];
    }
}
void init()
{
    memset(f, 0, sizeof f);
    memset(Next, -1, sizeof Next);
    memset(flag, 0, sizeof flag);
    memset(sign, 0, sizeof sign);
    se.clear();
}
int cal(int i,int j,int k)
{
    if(Next[i][a[j]]==j&&Next[j][a[k]]==k) return 3;
    if(Next[i][a[j]]==j) return 2;
    if(Next[j][a[k]]==k) return 2;
    if(Next[i][a[k]]==k) return 2;
    return 1;
}
void solve()
{
    kind = se.size();
    cnt = z;
    LL temp = m-kind;
    f[0] = 1LL*temp*temp*temp;
    ///枚举三层循环所有序列。
    for(int i = 0; i < z; i++){
        for(int j = 0; j < z; j++){
            for(int k = 0; k < z; k++){
                int len = cal(i,j,k);
                flag[a[i]][a[j]][a[k]] = max(flag[a[i]][a[j]][a[k]],len);
            }
        }
    }

    se.clear();///清空原先没有离散的数据。
    for(int i = 0; i < z; i++){
        se.insert(a[i]);
    }
    set<int>::iterator it, it1, it2;
    for(it = se.begin(); it!=se.end(); it++){
        for(it1 = se.begin(); it1!=se.end(); it1++){
            for(it2 = se.begin(); it2!=se.end(); it2++){
                f[flag[*it][*it1][*it2]]++;
            }
        }

    }

    ///枚举两层循环.
    int cnt2, cnt1;
    for(int i = 0; i < z; i++){
        for(int j = 0; j < z; j++){
            int len;
            if(Next[i][a[j]]==j) len = 2;
            else len = 1;
            sign[a[i]][a[j]]= max(sign[a[i]][a[j]],len);
        }
    }
    cnt1 = cnt2 = 0;
    for(it = se.begin(); it!=se.end(); it++){
        for(it1 = se.begin(); it1!=se.end(); it1++){
            if(sign[*it][*it1]==2){
                cnt2++;
            }else cnt1++;
        }
    }

    f[2] += 1LL*3*cnt2*(m-kind);
    f[1] += 1LL*3*cnt1*(m-kind);
    ///f(1)第三种来源;
    f[1] += 1LL*3*kind*(m-kind)*(m-kind);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        z = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d",&a[z]);
            if(a[z]<=m) z++;
        }
        init();
        for(int i = 0; i < z; i++){
            se.insert(a[i]);
        }
        lisan();
        NextInit();
        solve();
        printf("%I64d %I64d %I64d %I64d
",f[0], f[1], f[2], f[3]);
    }
    return 0;
}