动态规划——求最大子序列

1.先来分析一维的：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int t,m,n,sum,maxSum;
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&sum);
        maxSum=sum;
        while(--n)
        {
            scanf("%d",&t);
            if(sum<0) sum=t;
            else sum+=t;
            if(maxSum<sum) maxSum=sum;
        }   
        printf("%d\n",maxSum);
    }
    return 0;
}        

这里需要两个结论。首先，对于array[1...n]，如果array[i...j]就是满足和最大的子串，那么对于任何k(i<=k<=j)，我们有array[i...k]的和大于0。因为如果存在k使得array[i...k]的和小于0，那么我们就有array[k+1...j]的和大于array[i...j]，这与我们假设的array[i...j]就是array中和最大子串矛盾。

其次，我们可以将数组从左到右分割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于所有子串array[i...j]和任意k（i<=k<j），有array[i...k]的和大于0。此时我们要说明的是，满足条件的和最大子串，只能是上述某个子串的前缀，而不可能跨越多个子串。我们假设array[p...q]，是array的和最大子串，且array[p...q]，跨越了array[i...j]，array[j+1...k]。根据我们的分组方式，存在i<=m<j使得array[i...m]的和是array[i...j]中的最大值，存在j+1<=n<k使得array[j+1...n]的和是array[j+1...k]的最大值。由于array[m+1...j]使得array[i...j]的和小于0。此时我们可以比较array[i...m]和array[j+1...n]，如果array[i...m]的和大于array[j+1...n]则array[i...m]>array[p...q]，否array[j+1...n]>array[p...q]，无论谁大，我们都可以找到比array[p...q]和更大的子串，这与我们的假设矛盾，所以满足条件的array[p...q]不可能跨越两个子串。对于跨越更多子串的情况，由于各子串的和均为负值，所以同样可以证明存在和更大的非跨越子串的存在。对于单元素和最大的特例，该结论也适用。

根据上述结论，我们就得到了Kadane算法的执行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。我们以array={−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。

南阳理工44就是一个一维的字串和：

 

子串和

时间限制：5000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：3

 

描述

给定一整型数列{a₁,a₂...,a_n}，找出连续非空子串{a_x,a_x+1,...,a_y}，使得该子序列的和最大，其中，1<=x<=y<=n。

 输入

第一行是一个整数N(N<=10)表示测试数据的组数）
每组测试数据的第一行是一个整数n表示序列中共有n个整数，随后的一行里有n个整数I(-100=<I<=100)，表示数列中的所有元素。(0<n<=1000000)

输出

对于每组测试数据输出和最大的连续子串的和。

样例输入

1
5
1 2 -1 3 -2

样例输出

5

#include<stdio.h> 
int main() 
{   
    int i,j,n,m,sum,maxsum;   
    scanf("%d",&n);    
    while(n--)
    {         
        scanf("%d%d",&m,&j); 
        sum=maxsum=j; 
        for(i=1;i<m;i++) 
        { 
            scanf("%d",&j); 
            if(sum<0)    
               sum=j; 
            else   
               sum+=j;  
            if(maxsum<sum) maxsum=sum; 
        } 
        printf("%d\n",maxsum); 
    } 
    return 0; 
}

最大和

时间限制：1000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：5

 

描述

给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。 
例子：
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 
其最大子矩阵为：

9 2 
-4 1 
-1 8 
其元素总和为15。 

 

输入

第一行输入一个整数n（0<n<=100）,表示有n组测试数据；
每组测试数据：
第一行有两个的整数r，c（0<r,c<=100），r、c分别代表矩阵的行和列；
随后有r行，每行有c个整数；

输出

输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。

样例输入

1
4 4
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 

样例输出

15

//我们已经知道一维数组的最值求法，现在我们可以把二位数组转化为一维数组
//我们可以把二维数组按照行数进行压缩
#include<stdio.h> 
#include<string.h>
int max(int n,int *a)//这是求一维数组的最大值
{
    int i,sum,maxsum;
    sum=maxsum=-9999999;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(sum<0)  sum=a[i];
        else sum+=a[i];
        maxsum=maxsum>sum?maxsum:sum;
    }
    return maxsum;
}        
int main() 
{   
    int i,j,n,m,sum,maxsum,t,a[110][110],b[110],p;   
    scanf("%d",&p);    
    while(p--)
    {      
        maxsum=-9999999;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j<m;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for(i=0;i<n;i++)//行号从0到n
        {
            memset(b,0,sizeof(b));
            for(j=i;j<n;j++)//把从i到n行压缩成一行
            {
                for(t=0;t<m;t++)
                    b[t]+=a[j][t];
                   sum=max(m,b);//求每行的最值
                    maxsum=maxsum>sum?maxsum:sum;//总得最值
                }
        }
     printf("%d\n",maxsum); 
    }
    return 0; 
}