算法-最大连续子序列和

 题目:给定（可能是负的）整数A₁、A₂、…、A_N，求出并确定对应的序列的最大值。如果所有的整数都是负数，那么最大连续子数列和就是0，只是求出最大值，不需要求出具体的序列，作为这个题目的变种有很多情况下给你一个确定的数列，具体求和，大同小异，共有四种解法，按照时间复杂度来解；

穷举法

这个应该是这个题目最容易想到的方式，通过循环遍历出所有的序列组合，求出最大的序列的最大值，代码如下:

-(NSInteger)maxSubsequenceSum:(NSArray *)data{
    
    NSInteger maxSum=0;//最大子序列的和
    
    for (NSInteger start=0; start<[data count]; start++) {
        
        for (NSInteger end=start; end<[data count]; end++) {
            
            NSInteger currentSum=0;//当前子序列的和
            //data[start]~data[end]子序列的和
            for (NSInteger i=start; i<=end; i++) {
                
                currentSum+=[[data objectAtIndex:i] integerValue];
                
            }
            //通过判断给最大子序列的和赋值
            if (maxSum<currentSum) {
                maxSum=currentSum;
            }
        }
    }
    return maxSum;
}

 　这个算法三个循环，假设数组的长度为n，第一层循环为n，第二层循环n-start，第三层end-start，可算出时间复杂度O(n*n*n)=O(N^3)，时间复杂度是跟输入长度的立方有关，如果数组过长会是一个灾难~

穷举精简版

对data[start]~data[end]子序列求和，可以由上一次求和data[start]~data[end-1]的结果加上data[end]得到，不需要重头开始计算，时间复杂度为O(N^2) 

-(NSInteger)maxSubsequenceSumSecond:(NSArray *)data{
    NSInteger maxSum=0;//最大子序列的和

    for (NSInteger start=0; start<[data count]; start++) {
        
        NSInteger currentSum=0;//当前子序列的和
        
        for (NSInteger end=start; end<[data count]; end++) {
            //data[start]~data[end]子序列的和，通过end加入，不需要循环
            currentSum+=[[data objectAtIndex:end] integerValue];
            
            if (maxSum<currentSum) {
                maxSum=currentSum;
            }
        }
    }
    return maxSum;
}

递归版

题目中最大子序列可能在三个地方出现，左半部，右半部，跨越输入数据的中部而占据左右两部分。前两种情况递归求解，第三种情况的最大和可以通过求出前半部分最大和（包含前半部分最后一个元素）以及后半部分最大和（包含后半部分的第一个元素）相加而得到。

-(NSInteger)maxSubsequenceSumThird:(NSArray *)data  leftIndex:(NSInteger)left rightIndex:(NSInteger)right{
    if (left==right) {
        if (data[left]>0) {
            //空集也算是子序列，空集和为0，最大子序列和最小为0
            return [data[left] integerValue];
        }else{
            return 0;
        }
    }
    
    NSInteger center=(left+right)/2;
    NSInteger maxLeftSum=[self maxSubsequenceSumThird:data leftIndex:left rightIndex:center];
    NSInteger maxRightSum=[self maxSubsequenceSumThird:data leftIndex:center+1 rightIndex:right];
    
    //左半部分中包含最右边元素的子序列的最大和
    NSInteger  maxLeftBorderSum=0,leftBorderSum=0;
    for (NSInteger i=center; i>=left; i--) {
        leftBorderSum+=[data[i] integerValue];
        if (leftBorderSum>maxLeftBorderSum) {
            maxLeftBorderSum=leftBorderSum;
        }
    }
    //右半部分包含最左边的值
    NSInteger maxRightBorderSum=0,rightBorderSum=0;
    for (NSInteger i=center+1;i<right;i++) {
        rightBorderSum+=[data[i] integerValue];
        if (rightBorderSum>maxRightBorderSum) {
            maxRightBorderSum=rightBorderSum;
        }
    }
    //跨越左右部分的最大序列和
    NSInteger maxMiddleSum=maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum;
    //左部分，右部分，跨越左右的最大序列和的最大值
    NSInteger result=maxLeftSum>maxRightSum?maxLeftSum:maxRightSum;
    return result>maxMiddleSum?result:maxMiddleSum;
}

如果left==right，那么T(1)=1，两层循环的时间的次数2/N，最后的时间复杂度T(N)=2T(N/2)+O(N),等价于2T(N/2)+N，T(N)=N*(K+1)（这个可以自己推导），T(N)=N*(k+1)=NlogN +N=O(N )；

最简版

一次遍历，如果小于0，重新设置循环的位置，时间复杂度O(N)：

-(NSInteger)maxSubsequenceSumFour:(NSArray *)data{
    NSInteger maxSum=0,currentSum=0;
    for (NSInteger index=0; index<[data count]; index++) {
        currentSum+=[[data objectAtIndex:index] integerValue];
        //判断当前序列的和是否为正数
        if (currentSum<0) {
            currentSum=0;
        }
        else if(maxSum<currentSum) {
            maxSum=currentSum;
        }
    }
    return maxSum;
}

还有一个极端的情况，如果都是负数，不想返回0，获取最大的负整数即可:

-(NSInteger)maxSubsequenceSumSpecial:(NSArray *)data{
    
    NSInteger maxSum=[[data objectAtIndex:0] integerValue],currentSum=0;
    
    NSInteger maxNegative=[[data objectAtIndex:0] integerValue];
    
    for (NSInteger index=0; index<[data count]; index++) {
        
        currentSum+=[[data objectAtIndex:index] integerValue];
        if (currentSum<0) {
            currentSum=0;
        }
        else if(maxSum<currentSum) {
            maxSum=currentSum;
        }
        if (maxNegative<[data[index] integerValue]) {
            maxNegative=[data[index] integerValue];
        }
    }
    return maxSum>maxNegative?maxSum:maxNegative;
    
}

调用如下:

    NSArray *dataSource=[[NSArray alloc]initWithObjects:@"10",@"-9",@"-3",@"8",@"-2", nil];
    MaxSubsequence  *maxSubsequence=[[MaxSubsequence alloc]init];
    NSInteger result=[maxSubsequence maxSubsequenceSum:dataSource];
    NSLog(@"最大的连续子序列的和:%ld",(long)result);
    
    
    NSInteger resultSecond=[maxSubsequence maxSubsequenceSumSecond:dataSource];
    NSLog(@"第二种最大的连续子序列的和:%ld",(long)resultSecond);

    NSInteger thirdResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumThird:dataSource leftIndex:0 rightIndex:dataSource.count-1];
    NSLog(@"第三种最大的连续子序列的和:%ld",(long)thirdResult);
    
    NSInteger fourResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumFour:dataSource];
    NSLog(@"第四种最大的连续子序列的和:%ld",(long)fourResult);
    
    NSInteger specialResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumSpecial:dataSource];
    NSLog(@"第四种全是负数最大的连续子序列的和:%ld",(long)specialResult);