前缀和算法

（一）前缀和算法

概念：前缀和就是数组的前i项之和

一维前缀和

s[1]=a[1]

s[2]=a[1]+a[2]

s[3]=a[1]+a[2]+a[3]

s[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

s[5]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]

①.前缀和

输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int sum,n,i,j,x,m,l,r;
    int s[100009];
    cin>>n>>m;
    sum=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x;
        sum+=x;
        s[i]=sum;
    }
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>l>>r;
        cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

在做题中我们会经常用到他的二维的前缀和数组

最常见的案例：求子矩阵的和

2.子矩阵的和

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式

共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

对于二维前缀和问题，首先我们先求出他的前缀和数组，如何求呢？
对于（i,j）该点的前缀和数组求解：看图，求红色部分的前缀和

 就可以看成是蓝色前缀和+粉色前缀和-黄色前缀和+自己本身

s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]

 求完前缀和数组后，在分析一下如果要求两个点之间的子矩阵的和应该怎么办？

再画图分析一下：

 求解两个圆圈之间的子矩阵：黄色面积-蓝色面积-紫色面积+粉色面积

ans=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,q,x1,x2,y1,y2;
int s[1010][1010],a[1010][1010];
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d
",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}