动态规划：求最长公共子序列和最长公共子串

最长公共子序列（LCS）：

这同样是一道经典题目，定义就不说了。

为了方便说明，我们用X_i代表{x₁,x_2,‥x_i},用Y_j代表{y₁,y₂,‥y_j}。那么，求长度分别为m，n的两个序列X,Y的LCS就相当于求Xm与Yn的LCS。我们将其分割为局部问题进行分析。

首先，求Xm与Yn的LCS要考虑一下两种情况。

Ⅰ.

 x_m=y_n时，在X_m-1与Y_n-1的LCS后面加上x_m(=y_n)就是X_m与Y_n的LCS。

举个例子，X={a,b,c,c,d,a}, Y={a,b,c,b,a} 时x_m=y_n，所以在X_m-1与Y_n-1的LCS({a,b,c} )后面加上 x_m(=a)就是X_m与Y_n的LCS。

Ⅱ.

x_m≠y_n时，X_m-1与Y_n的LCS和X_m与Y_n-1的LCS中更长的一方就是X_m与Y_n的LCS。

举个例子，X={a,b,c,c,d,a}, Y={a,b,c,b,a} 时x_m=y_n，所以在X_m-1与Y_n的LCS为{a,b,c} ，Xm-1与Yn的LCS为{a,b,c,b},因此Xm-1与Yn的LCS就是X_m与Y_n的LCS。

定义：

c[i][j]：为X_i与Y_j的LCS的长度。

于是c[i][j]的值可由一下递推关系求得：

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1000005;
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    int a = s1.size(), b = s2.size();
    for (int i = 0; i < a; i++)
    {
        for (int j = 0; j < b; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
            else
                dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]);
        }
    }
    cout << dp[a][b];
    return 0;
}

最长公共子串：

字串要求是连续的子序列，根据上面子序列的递推公式，因此我们可以稍微改一下递推公式，得到如下的递推关系：

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10005;
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    int a = s1.size(), b = s2.size();
    for (int i = 0; i < a; i++)
    {
        for (int j = 0; j < b; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
            else
                dp[i + 1][j + 1] = 0;
        }
    }
    cout << dp[a][b];
    return 0;
}

如果有什么不对的地方，欢迎大家指出哦（虽然知道没什么人看，但还是要说一下）。