洛谷 P1025【数的划分】(DFS dp)

题目链接：P1025 数的划分

用k个数组成n，且不考虑数的顺序。

首先我们考虑用搜索的做法，因为数的顺序无关，所以我们采用从小到大的搜索方式，注意有个剪枝

void dfs(int pre,int step,int sum)
{
    if (step == k)
    {
        if (sum == n) ans++;
        return;
    }
    for (int i = pre; sum + i*(k - step) <= n; i++)
        dfs(i, step + 1, sum + i);
}

这里一定要加sum + i*(k - step) <= n这个剪枝，这句话什么意思呢，就是当前已经确定了step个数了，还剩下k-step个数，sum是当前step个数的和，如果剩下（k-step）都是i的话都不满足总和小于n的话就退出，因为接下来搜索的数必定是大于等于i的，如果剩下（k-step）都是i的话都不满足，那么接下来的搜索也一定不满足，因此退出

接下来考虑dp的做法，我们

设F(i,j)为用j个数组成i，答案即为F(7,3)的。

一个思路是，对于F(7,3)=不含1的方案数+含1的方案数

首先含1的方案数很好处理，就是前我们用j-1个数去组成i-1，剩下一个数就是1，因此这个方案数等于F(i-1,j-1).

那么不含1的数的方案呢，不含1的方案说明我们选的方案的j个数每个数都大于1，那我们就让这j个数每个数都减去1，最后这j个数的和是i-j,因此这个方案数就是F(i-j,j),

这里有些问题，那我们为什么让这j个数每个都减去1呢？为什么不减去2，3，4...呢？因为这个方案是不含1的，选的数是大于等于1的，但不一定大于等于2，3，4...，所以减去1.

还有疑问，为什么必须选择j个数每个都减去1，而不选择j-1，j-2，或者j-x个数呢，让它们每个都减1。

如果选择j-x个数那么问题来了，我们到底选择这j个数里的哪j-x个数呢，换句话说，到底哪x个数不减1呢。所以这种去掉x个数的方案不唯一，有多种情况，只有这j个数，每个都去掉1，这是唯一的情况，我们直接加上F(i-j,j)即可，当然这是在i-j>=j的时候。

所以我们得到了

  F(i,j)=F(i-1,j-1)+F(i-j,j)

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k;
int f[205][10];
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        f[i][1] = 1;
        f[i][i] = 1;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= k; j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
            if (i - j >= j)
                f[i][j] += f[i - j][j];
        }
    }
    cout << f[n][k] << endl;
    return 0;
}