C语言-多重背包问题

多重背包问题

问题：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析：

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

另一种方法：

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)

    if cost*amount>=V

        CompletePack(cost,weight)

        return

    integer k=1

    while k<amount

        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)

        amount=amount-k

        k=k*2

    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)


代码实现：

/******************多重背包问题*********************/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>
using namespace std;
#define EMPTY
#define INF -65536
const int V=1000;//定义体积
const int T=5;//定义物品种类
int f[V+1];
int c[T]={40,100,30,80,400};
int w[T]={3,8,1,3,5};
int n[T]={10,5,9,13,7};
vector <int> n_list;//存储分解后的每一个系数
vector <int> c_list;//将分解后的每一个系数乘以每一个体积
vector <int> w_list;//将分解后的每一个系数乘以每一个价值
void initpackage()//将每个系数分解
{
    int x=0;
    for(int i=0;i<T;i++)
    {
        int p=1;
        cout<<n[i]<<":";
        while((n[i]-pow(2,p)+1)>=0)
        {
            cout<<pow(2,p-1)<<" ";
            n_list.push_back(pow(2,p-1));
            c_list.push_back(c[i]*pow(2,p-1));
            w_list.push_back(w[i]*pow(2,p-1));
            p++;
        }
        x=n[i]-pow(2,p-1)+1;
        if(x>0)
        {
            cout<<x<<" ";
            n_list.push_back(x);
            c_list.push_back(c[i]*x);
            w_list.push_back(w[i]*x);
        }
        cout<<endl;
    }
}
int package()
{
    initpackage();
    int size;
    size=n_list.size();
    #ifdef EMPTY
    for(int i=0;i<=V;i++)
    {
        f[i]=0;
    }
    #else
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=V;i++)
    {
        f[i]=INF;
    }
    #endif // EMPTY
    for(int i=0;i<size;i++)
    {
        for(int v=V;v>=c_list[i];v--)
        {
            f[v]=max(f[v],f[v-c_list[i]]+w_list[i]);
        }
    }
    return f[V];
}
int main()
{
    int temp;
    cout<<"c[i]的结果为：";
    for(int i=0;i<T;i++)
    {
        cout<<c[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    cout<<"w[i]的结果为：";
    for(int i=0;i<T;i++)
    {
        cout<<w[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    cout<<"n[i]的结果为：";
    for(int i=0;i<T;i++)
    {
        cout<<n[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    temp=package();
    cout<<temp<<endl;
    return 0;
}