【爬虫】RSA加密演算法

新浪微博使用RSA加密演算法，RSA加密算法是一种非对称加密演算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。

公钥与密钥的产生

假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接受Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：

1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算n=pq
2. 根据欧拉函数（r = φ(n)，其中r是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目），求得r= φ(n) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)
3. 选择一个小于r的整数e，求得e关于模r的模反元素，命名为d。所谓模反元素，即有这么一个整数d可以使得e×d≡1 mod r，相当于e×d = k×r+1。相当于对一个二元一次方程求解，即相当于计算Ax+By=1，求解这个式子需要计算e和r的最小公约数相似原理的扩展欧几里得算法进行求解（计算）。可以参看维基百科的内容：扩展欧几里得算法。
4. 将p和q的记录销毁

[N, e]是公钥，[N, d]是私钥。Alice将公钥[N, e]传给Bob，而将她的私钥[N, d]藏起来。

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1. Alice选择的两个质数分别为：p=17，q=23。则n=17×23=391。
2. r= φ(n) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1)  [P.S. 这里由于p是质数，当然小于p的与p互质的数是p-1个] 。得到r=368。
3. 选择一个小于r的整数e=19，r=368，最大公约数为：相当于解一个二元一次方程：19x+368y=1 。通过欧几里得计算过程：
   • 　　 1) 368 = 19*19+7;    2) 19 = 7*2+5;     3)  7 = 5*1+2;    4)  5 = 2*2+1    
   •  => 1 = 5  + 2*(-2) = 5 +(7+5*(-1))*(-2) = 5*3 + 7*(-2) = (19+7*(-2))*3 + 7*(-2) = 19*3 + 7*(-8) = 19*3 + (368+19*(-19))*(-8) = 19*155 + 368*(-8)
   •  =>  d = x = 155, k = y = -8
4.  公钥是[n,e]=[391,19], 私钥就是[n,d]=[391, 155]

可是这样子，为什么私钥可以保密呢？我们已知的是参数有 n和e，未知的参数有p,q,r,d,k。

如果要破解必须要私钥d，而如果只知道公钥要怎么计算得到私钥呢？我们要求解方程e×d = k×r+1则必须要知道r，而知道r必须要知道p和q。知道p和q必须要将n进行因式分解。
大整数的因式分解是一件极其麻烦的事情，必须用暴力拆解。即使在知道因数就是质数的情况下，因为N可能会是几百位上千位的。

参考资料：

 阮一峰的博客：RSA算法原理（一）和RSA算法原理（二）