简单MDP分析（Markov decision processes）

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简单MDP分析（Markov decision processes）

MDP又称马尔可夫决策过程。

MDP提供了一种结果部分随机部分可控的决策制定框架，具体而言，马尔可夫决策过程是离散时间点的随机控制过程。在每一步，过程在特定的状态S，而决策者可能选择任何在状态S下可用的行动 a，过程在下一个时间点随机的进入S'状态，并且给予决策者奖励 $R_a(s,s')$ 。

过程选择行为a 进入 $s'$ 状态的可能性由状态转移函数 $P_a(s,s')$ 决定，然而下一个状态S'只依赖于当前状态，而与以前的状态无关，换句话说，马尔科夫决策过程的状态转移具有markov性。

马尔可夫决策过程是一个四元组。 $(S,A,P_cdot(cdot,cdot),R_cdot(cdot,cdot))$ 其中
$S$ 是有限的状态集合
$A$ 有限行动集合(或者, $A_s$ 是在状态s下可以选择的行动的集合),
$P_a(s,s') = Pr(s_{t+1}=s' mid s_t = s, a_t=a)$ 是在状态s下时间点t执行行动a在时间点t + 1进入s'状态的概率。
$R_a(s,s')$ 是由状态s到s'的立即回报（或者预期立即回报）。

最主要的问题是如何找到一个策略使总预期回报最大。
选择一个策略 $pi$
$sum^{infty}_{t=0} {gamma^t R_{a_t} (s_t, s_{t+1})}$ (where we choose $a_t = pi(s_t)$ )
当中 $gamma$ 是折扣因子， $0 le gamma < 1$ 。

下面介绍二种解决算法

其中

值迭代算法。

1、将每一个s的V(s)初始化为0

2、循环直到收敛 {

对于每一个状态s，对V(s)做更新

}

值迭代法使V值收敛到V*，而策略迭代法关注，使收敛到。

1、将随机指定一个S到A的映射。

2、循环直到收敛 {

（a）令

（b）对于每一个状态s，对做更新

}