HDOJ(1003) Max Sum

写的第一个版本，使用穷举（暴力）的方法，时间复杂度是O(N^2)，执行时间超过限制，代码如下：

#include <stdio.h>
#define  MAX_LEN  100000UL

int max_subsequence(int *array, unsigned int len, unsigned int *start, unsigned int *end)
{
    int max_val = array[0], sum;
    int t_start = 0;

    *start = *end = 0;

    while(t_start < len){
        sum = 0;
        for (int i = t_start; i < len; i++){
            sum += array[i];
            if (sum > max_val){
                max_val = sum;
                *start = t_start;
                *end   = i;
            }
        }
        ++t_start;
    }
    
    *start += 1;
    *end   += 1;
    return max_val;
}

int main(void)
{
    int A[MAX_LEN];
    int i = 0, round, n, max;
    unsigned int start, end;

    scanf("%d", &round);

    while (i++ < round)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int j = 0; j < n; j++){
            scanf("%d", &A[j]);
        }
        max = max_subsequence(A, n, &start, &end);

        printf("Case %d:
", i);
        printf("%d %d %d

", max, start, end);
    }

    return 0;
}

接着，我又参考了一篇最大子串的文章，编写了下面的代码，成功AC，代码如下：

#include <stdio.h>
#define  MAX_LEN  100000UL

int max_subsq(int *array, unsigned int size, unsigned int *start, unsigned int *end)
{
    int max_sum = -2000, sum = 0;
    int curstart = *start = 0;
    unsigned int i;

    for (i = 0; i < size; i++){
        if (sum < 0){
            sum = array[i];//丢弃之前的子串
            curstart = i;  //将当前位置作为新的起始位置
        } else {
            sum += array[i];
        }

        if (sum > max_sum){
            max_sum = sum;
            *start = curstart;
            *end   = i;
        }
    }

    return max_sum;
}

int main(void)
{
    int A[MAX_LEN];
    int i = 0, round, n, max;
    unsigned int start, end;

    scanf("%d", &round);

    while (i++ < round)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int j = 0; j < n; j++){
            scanf("%d", &A[j]);
        }
        max = max_subsq(A, n, &start, &end);

        printf("Case %d:
", i);
        printf("%d %d %d
", max, start + 1, end + 1);

        if (i != round) printf("
");
    }

    return 0;
}

程序的基本思想为：记录前面子序列的和sum，如果和小于0，就丢弃这一段。为什么可以sum<0，就舍弃，重新开始扫描呢？以下证明：

      我们用i表示子序列的起始下标，j 表示子序列的终止下标。原理是，当我们得到一个子序列，如果子序列的第一个数是非正数，那么可以舍去

      当一个子序列的前n个元素和为非正数时，是否也可以舍去呢？答案是可以的。假设k 是i到j中任意一个下标。Sum( a, b ) 表示子序列第a个元素到第b个元素之和。由于加到第j个元素，子序列才开始为负数，所以Sum( i, k ) > 0，Sum( i, k ) + Sum( k, j ) = Sum( i, j ) ,所以Sum( k, j ) < Sum( i, j ) < 0

      所以如果把 k到j的序列附加到j之后的序列上，只会使序列越来越小。所以i到j的序列都可以舍去。

但是，要是所有元素都是负数时，此程序能正确定位最大子序列吗？先构造下面的数据：

然后运行程序，结果如下：

因为每次都是先判断sum是否小于0，然后再添加新的元素，最后将sum与max_sum比较。如果全部为负数就变成了每次保留下来的子序列都只有一个元素（array[i]），这样，就相当于在所有负数中寻找最大值。可见，此算法是可行的。