一、递归定义
递归（recursion）是指在定义自身的同时又出现了对自身的引用。如果一个算法直接或间接地调用自己，则称这个算法是一个递归算法。
任何一个有意义的递归算法总是由两部分组成：递归调用与递归终止条件
在实际应用中使用递归可以解决以下多方面的问题：
⑴ 问题本身的定义就是递归的，例如许多数学定义就是递归的。
⑵ 问题本身虽然不是递归定义的，但是它所用到的数据结构是递归的，例如链表、树就可以看成是递归定义的数据结构。
⑶ 问题的解法满足递归的性质，
二、递归与栈
⑴ 对调用函数的运行现场进行保护，主要是参数与返回地址等信息的保存；
⑵ 创建被调用函数的运行环境；
⑶ 将程序控制转移到被调用函数的入口。
在被调用函数执行结束之后，返回调用函数之前，系统同样需要完成3件工作：
⑴ 保存被调函数的返回结果；
⑵ 释放被调用函数的数据区；
⑶ 依照保存的调用函数的返回地址将程序控制转移到调用函数。
递归方法在某些情况下却并不一定是最高效的方法，主要原因在于递归方法过于频繁的函数调用和参数传递，这会使系统有较大的开销。在某些情况下，若采用循环或递归算法的非递归实现，将会大大提高算法的实际执行效率。
三、例子
3.1、计算一个整数n的阶乘
3.2、计算以x为底的n次幂
3.3、输出n个布尔量的所有可能组合
public void coding(int[] b, int n) {
if (n == 0) {
b[n] = 0;
outBn(b);
b[n] = 1;
outBn(b);
}
else {
b[n] = 0;
coding(b, n - 1);
b[n] = 1;
coding(b, n - 1);
}
}
private void outBn(int[] b) {
for (int i = 0; i < b.length; i++)
System.out.print(b[i]);
System.out.println();
}
3.4汉诺塔问题
汉诺塔问题是由法国数学家Edouard Lucas 在1883 年发明的。n 阶汉诺塔问题可以描述为：假设有X、Y、Z 三个塔座，初始时有n 个大小不一的盘子按照从小到大的次序放在塔座X 上。现在要求将塔座X 上的所有盘子移动到塔座Z 上并保持原来的顺序，在移动过程中要满足以下要求：在塔座之间一次只能移动一个盘子并且任何时候大盘子都不能放到小盘子上。
基本项：若只有一个盘子，则不需要使用过渡塔座，直接把它放到目的塔座即可。
递归项：如果多于一个盘子，则需要将塔座X 上的1 到n-1 个盘子使用Z 作为过渡塔座放到塔座Y 上，然后将第n 个盘子（最后一个盘子）放到塔座Z，最后将塔座Y 上的n-1个盘子使用塔座X 作为过渡放到塔座Z。
public void hanio(int n, char x, char y, char z) {
if (n == 1)
move(x, n, z);
else {
hanio(n - 1, x, z, y);
move(x, n, z);
hanio(n - 1, y, x, z);
}
}
private void move(char x, int n, char y) {
System.out.println("Move " + n + " from" + x + " to " + y);
}
五、递推关系求解
5.1、数学归纳法
5.2、迭代法
5.3、线性齐次递推式的求解
- 若q1,q2,…,qk为递归关系式的k个互不相同的特征根
- 若递归关系的特征方程有一个m重根q，则qn,nqn,…,nm-1qn均为特征方程的解
以二阶为例
5.4、常系数线性非齐次递归关系的解法
只要求它的一个特解及导出的齐次递归关系的通解即可。对非齐线性递归关系的特解, 针对f(n)的特殊形式有以下情形:
5.5、Master Method（大致估计）
Master Method 为求解如下形式的递推式提供了简单的方法。
T(n) = aT(n/b) +f(n)
其中a、b为常数，并且a ≥ 1 , b > 1；f(n)是正的确定函数。
在Master Method 中分3 种不同的情况分别给出问题的解。T(n) = aT(n/b) +f(n) 是一类分治法的时间复杂性所满足的递归关系，即一个规模为n 的问题被分成规模均为n/b 的a 个子间题，递归地求解这a 个子问题，然后通过对这a 个子问题的解的综合，得到原问题的解。如果用T(n)表示规模为n 的原问题的复杂性，用f(n)表示把原问题分成a 个子问题和将a 个子问题的解综合为原问题的解所需要的时间，我们便有递推关系式T(n) = aT(n/b) +f(n) 。
T(n)渐近估计式
这里涉及的三类情况，都是拿f(n)与nlogba作比较。定理直观地告诉我们，递归关系式解的渐近阶由这两个函数中的较大者决定。