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最优二分检索树

最优二分检索树问题：求一棵使得预期成本最小的二分检索树

一、问题引出

  或是一棵空树；或者是具有如下性质的非空二叉树：

 （1）左子树的所有结点均小于根的值；

 （2）右子树的所有结点均大于根的值；

对于一个给定的标识符集合，可能有若干棵不同的二分检索树:

不同形态的二分检索树对标识符的检索性能是不同的。

设给定的标识符集合是{a₁,a₂,…,a_n}，并假定a₁＜a₂＜ … ＜ a_n。设，P(i)是对a_i检索的概率，Q(i)是正被检索的标识符X恰好满足： a_i＜X＜a_i+1，0≤i≤n（设a₀=-∞,a_n+1=+∞)时的概率，即一种不成功检索情况下的概率。

内结点：代表成功检索情况，刚好有n个

外结点：代表不成功检索情况，刚好有n＋1个

平均检索成本＝Σ每种情况出现的概率×该情况下所需的比较次数

平均检索成本的构成：成功检索成分＋不成功检索成分

       ●成功检索：在内结点终止的成功检索    P(i)*level(a_i) ； 其中，level(a_i)= 结点a_i的级数=l

       ●不成功检索：外部结点的不成功检索的成本分担额为：Q(i)*(level(Ei)-1)

最优二分检索树问题：求一棵使得预期成本最小的二分检索树

二、问题分析

2.1、多阶段决策过程

把构造二分检索树的过程看成一系列决策的结果。

决策的策略：决策树根，如果{a₁,a₂,…,a_n}存在一棵二分检索树，a_k是该树的根，则内结点a₁,a₂,…,a_k-1和外部结点E₀,E₁,…,E_k-1将位于根a_k的左子树中，而其余的结点将位于右子树中。

       ● 左、右子树的预期成本——左、右子树的根处于第一级

       ● 左、右子树中所有结点的级数相对于子树的根测定，而相对于原树的根少1

2.1、最优性原理成立

若T最优二分检索树，则COST(L)和COST(R)将分别是包含a₁,a₂,…,a_k-1和E₀,E₁,…,E_k-1、及a_k＋1, a_k+2, …,a_n和E_k,E_k+1,…,E_n的最优二分检索(子)树。记由a_i+1,a_i+2,…,a_j和E_i,E_i+!,…,E_j构成的二分检索树的成本为C(i,j)，则对于最优二分检索树T有，

                COST(L) = C(0,k-1)

                COST(R) = C(k,n)

C[i,j] 表示点i+1，i+2到点j所组成的最优解

W[i,j] 表示i-j所有节点的概率和，因为在左右子树添加一个根节点，导致左右子树的所有节点的深度增加了1，所以加上W[i,j]

三、最优检索树构建过程

四、例子

设n=4,且(a1,a2,a3,a4)=(do,if,read,while)。设P(1:4) = (3,3,1,1)，Q(0:4) = (2,3,1,1,1) (概率值“扩大”了16倍)

初始：W(i,i)=Q(i)     C(i,i)=0  R(i,i)=0

1、计算W C R

 

 

2、计算结果

3、二分检索树：

       T₀₄=2 =>T₀₁(左子树），T₂₄(右子树）  即0到4以2为分界

       T₀₁=1 =>T₀₀(左子树），T₁₁(右子树）

       T₂₄=3 =>T₂₂(左子树），T₃₄(右子树）

4、树的形态