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动态规划算法定义：
动态规划，英文描述为Dynamic programming. 是一种可以把原始问题分解为若干相关联的子解问题，并通过求取和保存子问题的解，获得原问题的解。
动态规划算法可以解决的问题通常包含如下特征：
- 重叠子问题
- 最优子结构
对于第一个特征，比较容易理解，即分解的若干子问题，包含着重复的解。举例如：斐波那契数列，F(n) = F(n-1) + F(n-2)， 求解的F(n-1)的过程中，包含着求解F(n-2)的结果。
对于第二个特征，参考网上的说法为：
假设当前决策结果是f[n],则最优子结构就是要让f[n-k]最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质。
关键字解读为：
- 当前的决策与后面的决策是无关的，
- f[n-k]是最优的，转移到f[n]的状态是最优的
2. 动态规划算法的一般步骤和难点
使用动态规划算法解决问题的一般步骤是:
- 找到问题的最优解的性质，用数学公式或者算法描述
- 拆解子问题，确定问题的递推结构，保证可以收敛。
用知乎大神们的总结就是：找到问题的状态描述和状态转移方程。
3. 动态规划算法的分类和理解
根据我的理解，以及网上的说法，我把动态规划算法分为三个类别和层次：
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简单动态规划算法，即状态方程是用一个维度的变量的描述的，常见的问题如：斐波那契数列，爬台阶问题等
爬台阶问题问题描述： 有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。
状态描述： 我们使用变量n表示台阶的级数，F(n)表示n级台阶一共有多少种走法
状态转移方程与问题分解： 根据每次能跨越的台阶数目：1级台阶或者2级台阶，因为走到N级台阶之前，人一定是处于N-1级台阶或者N-2级台阶。F（n）的走法，一定是n-1级别的台阶的所有的走法和n-2级别台阶的所有走法之和。
F（n） = F(n-1) + F(n-2); 关于状态的分解，更详细的说明，可以看这篇文章：http://blog.csdn.net/baidu_37107022/article/details/73188963。 作者讲的非常的通俗易懂。佩服这么辛苦的编辑。
Java的代码实现
public static int getSumStep(int n){ if(n < 1){ return 0; } else if(n == 1){ return 1; } else if(n == 2){ return 1; } else { int f1 = 1; int f2 = 1; int f = 0; for(int i=3; i<=n; ++i){ f = f1 + f2; f1 = f2; f2 = f; } return f; } }
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二维的变量变化的动态规划算法，即最优解和递推关系需要两个维度变量来描述的，比如01背包问题，两个字符串的公共子序列问题
这类问题通常需要两个维度的变量，状态的描述比较晦涩，不容易理解，递推关系不是很直观。我自己的学习方法是牢记一个例子，这里以01背包问题为例：
问题描述：有编号分别为a,b,c,d的四件物品，它们的重量分别是2，3，4，5，它们的价值分别是3，4，5，6，现在给你个承重为8的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
| 编号 | a | b | c | d |
| w(重量) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| v(价值) | 3 | 4 | 5 | 6 |
这类问题我觉得抽象的比较好的一篇文章是这篇文章：
http://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html， 不过我当时是在手机上看到的，好了好久才找到这篇文章。
作者抽象的实在太好了，我觉得我都没法用语言去写出这么严格的数学公式表达和证明，这里就不赘述了。
下面写的，仅供自己理解使用， 总结下来就是：
Xi的取值为0，1 ；表示物品是否选取， i的取值为 1，2，3，4表示a,b,c,d4见物品
Wi表示物品的重量， w1=2, 表示 a物品的重量为2
Vi 表示物品的价值， v3 - 5, 表示物品c的价值为5；
其中n 表示 前 n个物品，这个表述是很重要的，如果是第一次思考这个问题，很多人都会卡在这里，
m表示背包的重量；
约束条件：
递推关系：
第一个公式表示 n == 0 或者 m == 0 , 即物品的数量为0 或者背包的重量为0的时候，可以算是起始条件
第二个公式表示： 表示包的重量小于新增加的物品， 新增加的物品，无法装入，如下图的F(2, 2 ) 表示前两个物品，包的重量2 ， 2 < (w[2] = 3)， 此时F(2,2 )= F(1 , 2) = 3;
第三个公式表示： 包的重量能够容纳w[n]，新增加的物品，这个时候，最大的价值就要在 F(n-1, m) 和 F(n-1, m- Wn) + V[n]) 这两个价值中选取了。
举例如下图打表的 F(4, 8), 因为 8 - (w[n] ，4) > 0 F(4, 8) = max(F(3, 8), F(3,3 ) + v[4]) = 10;
表的过程如下：
java代码如下：
public static int getMaxValue(int[] wArray, int[] vArray, int bagWeight){ int lenght = wArray.length; // init set zero // manipulator the talbe int [][] result = new int[lenght+1][bagWeight+1]; int [][] bRecord = new int[lenght+1][bagWeight+1]; for(int i=1; i<= lenght; ++i){ for(int j=1;j <= bagWeight; ++j){ if(j<wArray[i-1]){ result[i][j] = result[i-1][j]; bRecord[i][j] = 1; }else{ if( result[i-1][j] > result[i-1][j-wArray[i-1]]+ vArray[i-1]) { result[i][j] = result[i-1][j]; bRecord[i][j] = 1; } else{ result[i][j] = result[i-1][j-wArray[i-1]]+ vArray[i-1]; bRecord[i][j] = 2; } } } } return result[lenght][bagWeight]; //return bRecord; }
需要注意的是因为java数组的索引下标为从0，开始，所以
result[i][j] = result[i-1][j-wArray[i-1]]+ vArray[i-1];
brecord是记录操作的过程，用于回溯使用，这部分代码，后续实现。
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带有额外条件的动态规划问题（这类问题，我暂时还没有学习）
4. 动态规划与分治法的区别和联系
分治法是指将问题划分成一些独立地子问题，递归地求解各子问题，然后合并子问题的解而得到原问题的解。
动态规划适用于子问题独立且重叠的情况,也就是各子问题包含公共的子子问题。动态规划算法对每个子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。
分治法主要在于子问题的独立性，比如排序算法等， 动态规划算法主要适用于处理 子问题重复性和最优子结构的的问题。
目前的理解还比较浅显，只能先这么记录了。