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母函数的一些小结

一下来源于：兔子算法集中营

http://www.cppblog.com/superKiki/archive/2010/10/31/131928.html

在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”

“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “

我们首先来看下这个多项式乘法：

由此可以看出:

1. x的系数是a₁,a₂,…a_n_{的单个组合的全体。}

2. x²的系数是a₁,a₂,…a₂的两个组合的全体。

………

n. xⁿ的系数是a₁,a₂,….a_n的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：

母函数的定义：

对于序列a₀，a₁，a₂，…构造一函数：

称函数G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函数

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

考虑用母函数来接吻这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x²表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x³表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x⁴表示，

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x²来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”

1+x²表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x²表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x²(想下为何？结合数学式子)。

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

例如右端有2x⁵ 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。

接着上面，接下来是第二种情况：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

以展开后的x⁴为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

#include <iostream>
using namespace std;

const int _max = 10001;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{    //int n,i,j,k;
    int nNum;   //
    int i, j, k;

    while(cin >> nNum)
    {
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
        {

            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
                {
                    c2[j+k] += c1[j];
                }
                for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
                {
                    c1[j] = c2[j];
                    c2[j] = 0;
                }
        }
        cout << c1[nNum] << endl;
    }
    return 0;
}

我们来解释下上面标志的各个地方：

① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x²+..xⁿ)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。

③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x²+x⁴….)里，第j个就是x^2*j.

③ k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。

④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的

咱们赶快趁热打铁，来几道题目：

（相应题目解析均在相应的代码里分析）

1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

#include<stdio.h>
#define nmax 121
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int n, i, j, k;
	for (i = 0; i < nmax; i++) {
		res[i] = 1;
		temp[i] = 0;
	}
	for (i = 2; i < nmax; i++) {
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (k = 0; k + j < nmax; k += i) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			res[j] = temp[j];
			temp[j] = 0;
		}
	}
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		printf("%d\n", res[n]);
	}
	return 0;
}

这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!

看看这题：

2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

#include<stdio.h>
#define nmax 1005+1005*2+1005*5+20
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int i, j, k, te, num1, num2, num3;
	while (scanf("%d %d %d", &num1, &num2, &num3) != EOF && (num1 + num2 + num3)) {
		for (i = 0; i <= nmax; i++) {
			res[i] = 0, temp[i] = 0;
		}
		for (i = 0; i <= num1; i++) {
			res[i] = 1;
		}
		for (j = 0; j <= num1; j++) {
			for (k = 0; k <= num2 * 2; k += 2) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		te = num1 + 2 * num2;
		for (j = 0; j <= te; j++) {
			res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
		}

		for (j = 0; j <= te; j++) {
			for (k = 0; k <= num3 * 5; k += 5) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		te = te + num3 * 5;
		for (j = 0; j <= te; j++) {
			if (temp[j] == 0) {
				break;
			}
		}
		printf("%d\n", j);
	}
	return 0;
}

这题终于变化了一点，但是万变不离其中。

大家好好分析下，结合代码就会懂了。

3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 250001
int V[nmax], M[nmax], res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int N, i, j, k, te, Vs;
	while (scanf("%d", &N) != EOF && N > 0) {
		for (i = 0, Vs = 0; i < N; i++) {
			scanf("%d %d", V + i, M + i);
			Vs += V[i] * M[i];
		}
		te = Vs / 2;
		memset(res, 0, sizeof(res));
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		for (i = 0; i <= M[0]; i++) {
			res[i * V[0]] = 1;
		}
		for (i = 1; i < N; i++) {
			for (j = 0; j <= Vs; j++) {
				for (k = 0; k <= M[i] && (V[i] * k + j <= Vs); k++) {
					if (res[j] == 1) {
						temp[k * V[i] + j] = 1;
					}
				}
			}
			for (j = 0; j <= Vs; j++) {
				res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
			}
		}
		for (i = te; i >= 0; i--) {
			if (res[i] != 0) {
				break;
			}
		}
		printf("%d %d\n", Vs - i, i);
	}
	return 0;
}

4. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 301
#define nnum 18
int res[nmax], temp[nmax];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);
	 */int n, i, j, k;
	for (i = 0; i < nmax; i++) {
		res[i] = 1;
		temp[i] = 0;
	}
	for (i = 2; i < nnum; i++) {
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (k = 0; k + j < nmax; k += i * i) {
				temp[k + j] += res[j];
			}
		}
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			res[j] = temp[j];
			temp[j] = 0;
		}
	}
	while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
		printf("%d\n", res[n]);
	}
	return 0;
}

要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

5.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1709

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define nmax 10005
#define nnum 101
int res[nmax], temp[nmax], w[nnum];
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int N, i, j, k, tw, rc, flag;
	while (scanf("%d", &N) != EOF) {
		for (i = 0, tw = 0; i < N; i++) {
			scanf("%d", w + i);
			tw += w[i];
		}
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		memset(res, 0, sizeof(res));
		for (i = 0; i < 2; i++) {
			res[i * w[0]] = 1;
		}
		for (i = 1; i < N; i++) {
			for (j = 0; j <= tw; j++) {
				for (k = 0; k < 2; k++) {
					if (res[j] && ((j + k * w[i]) <= tw)) {
						temp[j + k * w[i]] += res[j];
					}
					if (res[j] && (temp[abs(j - k * w[i])] == 0)
							&& (j != abs(j - k * w[i]))
							&& (abs(j - k * w[i]) <= tw)) {
						temp[abs(j - k * w[i])] += res[j];
					}
				}
			}
			for (j = 0; j <= tw; j++) {
				res[j] = temp[j];
				temp[j] = 0;
			}
		}
		for (j = 0, rc = 0; j <= tw; j++) {
			if (!res[j]) {
				rc++;
			}
		}
		printf("%d\n", rc);
		if (rc) {
			flag = 0;
			for (j = 0; j <= tw; j++) {
				if (!res[j]) {
					if (flag) {
						printf(" ");
					}
					flag = 1;
					printf("%d", j);
				}
			}
			printf("\n");
		}
	}
	return 0;
}

6.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2069

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 251
#define nnum 101
#define kind 5
int res[nmax][nnum], temp[nmax][nnum], rres[nmax], a[kind] =
		{ 1, 5, 10, 25, 50 };
int main() {
	/*freopen("t.txt", "r", stdin);*/
	int num, i, j, k, r;
	memset(res, 0, sizeof(res));
	memset(temp, 0, sizeof(temp));
	res[0][0] = 1;
	for (i = 0; i < kind; i++) {
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (k = 0; k * a[i] < nmax; k++) {
				for (r = 0; r + k < nnum; r++) {
					temp[j + k * a[i]][r + k] += res[j][r];
				}
			}
		}
		for (j = 0; j < nmax; j++) {
			for (r = 0; r < nnum; r++) {
				res[j][r] = temp[j][r], temp[j][r] = 0;
			}
		}
	}
	for (i = 0; i < nmax; i++) {
		for (j = 0, rres[i] = 0; j < nnum; j++) {
			rres[i] += res[i][j];
		}
	}
	while (scanf("%d", &num) != EOF) {
		printf("%d\n", rres[num]);
	}
	return 0;
}

7.题目http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2079

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 41
#define nnum 9
int res[nmax], temp[nmax], nscore[nnum], num[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int T, n, m, i, j, k;
	while (scanf("%d", &T) != EOF) {
		while (T--) {
			scanf("%d %d", &n, &m);
			for (i = 0; i < m; i++) {
				scanf("%d %d", nscore + i, num + i);
			}
			memset(temp, 0, sizeof(temp));
			memset(res, 0, sizeof(res));
			res[0] = 1;
			for (i = 0; i < m; i++) {
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					for (k = 0; k <= num[i] && (k * nscore[i] + j < nmax);
							k++) {
						temp[j + k * nscore[i]] += res[j];
					}
				}
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
				}
			}
			printf("%d\n", res[n]);
		}
	}
	return 0;
}

8.题目http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 51
#define nnum 26
int res[nmax], temp[nmax], num[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, i, j, k;
	while (scanf("%d", &n) != EOF) {
		while (n--) {
			for (i = 1; i <= nnum; i++) {
				scanf("%d", i + num);
			}
			memset(res, 0, sizeof(res));
			memset(temp, 0, sizeof(temp));
			res[0] = 1;
			for (i = 1; i <= nnum; i++) {
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					for (k = 0; k <= num[i] && (j + k * i < nmax); k++) {
						temp[j + k * i] += res[j];
					}
				}
				for (j = 0; j < nmax; j++) {
					res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
				}
			}
			for (i = 0, j = 1; j < nmax; j++) {
				i += res[j];
			}
			printf("%d\n", i);
		}

	}
	return 0;
}

9.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2110

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 10005
#define nnum 101
int res[nmax], temp[nmax];
int pi[nnum], mi[nnum];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, i, j, k, sum;
	while (scanf("%d", &n) != EOF && n) {
		for (sum = 0, i = 0; i < n; i++) {
			scanf("%d %d", pi + i, mi + i);
			sum += pi[i] * mi[i];
		}
		if (sum % 3) {
			printf("sorry\n");
			continue;
		}
		memset(res, 0, sizeof(res));
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		res[0] = 1;
		sum /= 3;
		for (i = 0; i < n; i++) {
			for (j = 0; j <= sum; j++) {
				for (k = 0; k <= mi[i] && (j + pi[i] * k <= sum); k++) {
					temp[j + pi[i] * k] += res[j];
				}
			}
			for (j = 0; j <= sum; j++) {
				res[j] = temp[j] % 10000, temp[j] = 0;
			}
		}
		if (res[sum]) {
			printf("%d\n", res[sum]);
		} else {
			printf("sorry\n");
		}
	}
	return 0;
}

10. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2152

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 101
int res[nmax], temp[nmax], minn[nmax], maxn[nmax];
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, m, i, j, k;
	while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
		for (i = 0; i < n; i++) {
			scanf("%d %d", minn + i, maxn + i);
		}
		memset(temp, 0, sizeof(temp));
		memset(res, 0, sizeof(res));

		for (i = 0; i <= m; i++) {
			if (i >= minn[0] && i <= maxn[0]) {
				res[i] = 1;
			}
		}
		for (i = 1; i < n; i++) {
			for (j = 0; j <= m; j++) {
				for (k = minn[i]; k <= maxn[i] && (k + j <= m); k++) {
					temp[j + k] += res[j];
				}
			}
			for (j = 0; j <= m; j++) {
				res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
			}
		}
		printf("%d\n", res[m]);
	}
	return 0;
}

10.题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1521

/*
 * hdu1521.c
 *
 *  Created on: 2011-8-31
 *      Author: 王竹
 */

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 15
int num[nmax];
double res[nmax], fac[nmax], temp[nmax];
void init(int n) {
    int i;
    fac[0] = 1;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i;
    }
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
    int i, j, k, n, m;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
        init(n);
        for (i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", num + i);
        }
        memset(res, 0.0, sizeof(res));
        memset(temp, 0.0, sizeof(res));
        for (i = 0; i <= num[0]; i++) {
            res[i] = 1.0 / fac[i];
        }
        for (i = 1; i < n; i++) {
            for (j = 0; j <= n; j++) {
                for (k = 0; (k <= num[i]) && (k + j <= n); k++) {
                    temp[j + k] += res[j] / fac[k];
                }
            }
            for (j = 0; j <= n; j++) {
                res[j] = temp[j], temp[j] = 0;
            }
        }
        printf("%.0lf\n", res[m] * fac[m]);
    }
    return 0;
}

附：

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。

查看全文

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原文地址：https://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/p/2109727.html

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