素数与筛法

素数判别

1.O（x）  [根本不用]

2.sqrt判别　　O（√N）

如果x可以表示为两个因子相乘

x=a*b    假设a<=b

那么x>=a*a

a<=√x

只需要枚举a<=√x就可以了

 

3.Miller-Rabin 素性测试

素性测试：

一个素数n，除了2，n-1　一定为偶数

a 属于（1，n-1 ），n是素数

条件1， 2 至少有一成立

Pｓ：s.t.使得

Longlong范围内测试这8个质数一般不会错

代码见下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int gg[8] = {2,3,5,7,13,29,37,89};
int quickpow(int a,int b,int n)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)
        ans=ans*a%n;
        a=a*a%n;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
bool miller_rabin(int a,int n)　　／／判断能否通过
{
    int d=n-1,r=0;
    while (d%2==0)
        d/=2,r++;
    int x = quickpow(a,d,n);
    if (x==1) return true;
    for (int i=0;i<r;i++)
    {
        if (x==n-1) return true;
        x=(long long)x*x%n;
    }
    return false;
}
bool is_prime(int n)　　　　／／Is-prime判断是否为素数

{
    if (n<=1) return false;　　／／特判
    for (int a=0;a<8;a++)
        if (n==gg[a]) return true;
    for (int a=0;a<8;a++)
        if (!miller_rabin(gg[a],n)) return false;
    return true;
}
int main()
{
    long long N;
    cin>>N;
    if(is_prime(N))
    cout<<"Prime"<<endl;
    else cout<<"Not Prime"<<endl;
    return 0;
}

素数筛法

求1—n中所有质数

可以带入判素数   O（n√n）   但是会炸

1.未知名筛法

   先假定所有数字都是质数

   一个数的倍数一定不是质数，标记为合数

   最后没有被标记的，就是质数，因为不存在一个数i使得数i的倍数为这个数

算法复杂度达不到n²

b的枚举次数：

2.埃式筛法  O（nloglogn） 筛法

   合数的倍数一定会在筛素数倍数时候被筛掉

   所以只筛素数就好，只把质数的素数筛掉

   就是找到一个质数，把它的倍数全部标记为合数（但是你会发现有的数字会被标记多次，比如 6     被     2，3都标记，这样会浪费时间。。）

Ps:  1+1/2+1/3+1/4+......+1/n （调和级数） 这样的时间复杂度是 log n

然后你发现埃氏筛好浪费哦！！！我们下面看线性筛，保证每个数只被它的最小质因子标记为合数

 3.线性筛法（欧拉筛）

   P3383 【模板】线性筛素数

   线性筛法保证了每个数只会被他的最小质因子标记    复杂度降O（n）

就是这么一个意思，我们要筛1~n中的素数

然后先默认他们都是素数

最外层枚举1~n的所有数

   如果它是素数，就加到素数表

   对于每一个枚举的i ,枚举素数表里的数，然后素数就会标记自己 i 倍的数不是素数

（素数的倍数不是素数）

枚举素数表什么时候停？枚举到i的最小质因子，标记完就可以停了，保证每个数只被他的最小质因子筛掉

所以此时你枚举素数P，有两种情况：

1. p和i互质
2. p是i的最小质因子（用完之后i就要换新了）

可以证明每个合数都有机会被自己的最小质因子筛去

对于当前枚举的i ,素数prime[j] ,以及标记的合数k=i*j，记下k的最小质因子

然后我们判断这个素数prime[j]是不是i的最小质因子，如果不是，就继续枚举素数prime[j]否则就可以停了，去枚举下一个i，因为你再枚举素数并且标记也没用了，因为后面的数还会被自己的最小质因子给标记掉

PS：假设你就是不听话，继续枚举素数，假设得到prime[k]，那么下一步你就会标记i*prime[k]为合数，然鹅我们刚刚得到prime[i]是i的最小质因子，那么就说明i分解后一定有prime[j]，那么：

新合数yy=i*prime[k]=prime[j]*(i/prime[j])*prime[k]=prime[j]*( i/prime[j] * prime[k] )

( i/prime[j] * prime[k] )这个东西一定比i大，那么就说明后面枚举到( i/prime[j] * prime[k] )的时候，yy还会被prime[j]标记一遍，被最小质因子标记，那么之前的标记就是无用功啊！

下面是各种版本的线性筛：

 

lyd版本：

e[ i ] 记录 i 的最小质因子