CF1396E Distance Matching解题报告：
题意
给定一个 (n) 个点的树，求是否能让树上的点两两匹配使得匹配的点距离和为 (k)（(n) 为偶数）。
(1leqslant nleqslant 10^5)。
分析
和最近校内考试的一道题很像。
首先，根据经典结论，合法的 (k) 的下界为 (mn=sum_{i=1}^n( ext{size}_xmod 2))，上界为 (mx=sum_{i=1}^nmin{ ext{size}_x,n- ext{size}_x})。
具体证明可以考虑取出一个点对，然后再分治构造。
大胆猜测结论，(k) 合法当且仅当 (mnleqslant kleqslant mx) 且 (mxequiv kpmod 2)。
证明实际上就是构造过程：
我们取重心为根，那么容易发现 ( ext{size}_xleqslant n- ext{size}_x) 恒成立，也就是说我们取出所有经过根的路径即可以让答案取到最小值。
由于 (sum_{x,y} ext{dis}(x,y)=sum_{x,y} dep_x+dep_y-2dep_{ ext{lca}(x,y)})。由于前面是常数，所以我们只要让一对匹配的点对 (x,y) 的 ( ext{lca}) 深度增加一就可以让答案增加二。
接下来是构造过程：
- 如果 (k=mx)，那么我们只需要让答案取到最大，这是经典问题，我们求出树的 dfs 序并隔 (frac{n}{2}) 匹配即可。
- 如果 (k<mx)，那么我们取出根节点的儿子中子树大小最大的子树 (x)，容易发现其大小一定不小于 (2)，，我们取出其中子树大小大于 (1) 且最深的节点 (y)。
-
- 如果 (2 ext{dep}_yleqslant mx-k)，那么我们可以选择两个 ( ext{lca}) 为 (y) 的点进行匹配并删除即可，此时 (k) 会增加 (2 ext{dep}_{y})，但并不会超过 (mx)，我们回到第一步即可。
-
- 如果 (2 ext{dep}_y>mx-k)，那么由于 (kequiv mxpmod 2) 且深度是连续的，所以一定存在一个 ( ext{dep}_z=frac{mx-k}{2}) 的节点 (z)，我们取出两个 ( ext{lca}) 为 (z) 的节点即可，构造结束。
这里有一个小细节：为什么可以取出一对 ( ext{lca}=y) 的节点删除。我们发现当 (y) 的儿子数量大于 (1) 时可以任选两个儿子，儿子数量为 (1) 时可以直接选择 (y) 和那个儿子。（对 (z) 的讨论同理，因为 (z) 是 (y) 的非负级祖先）
（感觉上面说了一堆废话）
由于第二种情况（(k<mx) 且 (2 ext{dep}_yleqslant mx-k)）不会让重心移动，所以我们并不需要重新寻找重心，于是我们用 ( ext{set}) 模拟上述过程即可。
时间复杂度 (O(nlog n))。
代码
代码很好写。
#include<stdio.h>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n,cen,mnsz;
int sz[maxn],bel[maxn],used[maxn],dep[maxn],out[maxn],fa[maxn];
long long k,mn,mx,rst;
vector<int>t,dfn,v[maxn];
set< pair<int,int> >sons,s[maxn];
void dfs1(int x,int last){
int mxsz=0;
sz[x]=1;
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
if(v[x][i]!=last)
dfs1(v[x][i],x),sz[x]+=sz[v[x][i]],mxsz=max(mxsz,sz[v[x][i]]);
mxsz=max(mxsz,n-sz[x]);
if(mnsz>mxsz)
mnsz=mxsz,cen=x;
if(last)
mn+=sz[x]%2,mx+=min(sz[x],n-sz[x]);
}
void dfs2(int x,int last,int b){
sz[x]=1,dep[x]=dep[last]+1,fa[x]=last,bel[x]=b;
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
if(v[x][i]!=last)
out[x]++,dfs2(v[x][i],x,b),sz[x]+=sz[v[x][i]];
if(sz[x]&&out[x]>0)
s[b].insert(make_pair(dep[x],x));
}
void dfs3(int x,int last){
if(used[x]==0)
dfn.push_back(x);
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
if(v[x][i]!=last)
dfs3(v[x][i],x);
}
void del(int x){
used[x]=1,out[fa[x]]--;
if(out[fa[x]]==0)
s[bel[x]].erase(make_pair(dep[fa[x]],fa[x]));
}
void match(int x){
t.clear();
for(int i=0;i<v[x].size();i++)
if(v[x][i]!=fa[x]&&used[v[x][i]]==0)
t.push_back(v[x][i]);
if(used[x]==0)
t.push_back(x);
printf("%d %d
",t[0],t[1]),del(t[0]),del(t[1]);
}
int main(){
scanf("%d%lld",&n,&k);
for(int i=1,x,y;i<n;i++)
scanf("%d%d",&x,&y),v[x].push_back(y),v[y].push_back(x);
mnsz=n+1,dfs1(1,0);
if(mn>k||mx<k||(mx-k)&1){
puts("NO");
return 0;
}
puts("YES");
for(int i=0;i<v[cen].size();i++){
dfs2(v[cen][i],cen,v[cen][i]);
if(sz[v[cen][i]]>1)
sons.insert(make_pair(sz[v[cen][i]],v[cen][i]));
}
rst=mx-k;
while(rst){
int x=sons.rbegin()->second,y=s[x].rbegin()->second;
sons.erase(make_pair(sz[x],x));
if(2*dep[y]>rst){
y=s[x].lower_bound(make_pair((int)(rst/2),0))->second,rst-=2*dep[y],match(y);
break;
}
rst-=2*dep[y],match(y),sz[x]-=2;
if(sz[x]>1)
sons.insert(make_pair(sz[x],x));
}
dfs3(cen,0);
for(int i=0;i<dfn.size()/2;i++)
printf("%d %d
",dfn[i],dfn[dfn.size()/2+i]);
return 0;
}