P5206 [WC2019]数树 解题报告：
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前置知识
子集反演
子集反演的一般形式为：
\[g(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T)\Leftrightarrow f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T)
\]
下文中运用的子集反演特指其特殊形式：
\[f(S)=\sum_{T\subseteq S}\sum_{P\in T}
\]
凯莱定理的一个扩展
具体可见 CF156D 以及 OI-Wiki Prufer 序列。
\(k\) 个树组成的森林，第 \(i\) 个森林大小为 \(a_i\) 则将这些连通块连接成一棵树的方案数为
\[n^{k-2}\prod_{i=1}^k a_i
\]
题意
略。
分析
问题 \(0\)
比较简单，取出蓝/红树边集的交，会形成若干连通块，每个连通块颜色相同，于是答案是 \(y^c\)。（\(c\) 为连通块数量）
用个 map 统计即可，复杂度 \(O(n\log n)\)。
问题 \(1\)
令蓝树的边集为 \(E\)，考虑枚举红树边集，那么答案是：
\[\sum_{T}y^{n-|S\cap T|}
\]
对上式施加子集反演（前置知识 \(1\)）有：（令 \(g(S)\) 为 \(S\) 为边集子集的方案数）
\[\sum_T\sum_{P\subseteq S\cap T}\sum_{Q\subseteq P}(-1)^{|P|-|Q|}y^{n-|Q|}\\=\sum_{P\subseteq S}g(P)\sum_{Q\subseteq P}(-1)^{|P|-|Q|}y^{n-|Q|}\\=\sum_{P\subseteq S}g(P)y^{n-|P|}\sum_{Q\subseteq P}(-y)^{|P|-|Q|}\\=\sum_{P\subseteq S} g(P)y^{n-|P|}\sum_{i=0}^{|P|}{|P|\choose i}(-y)^{|P|-i}\\=\sum_{P\subseteq S}g(P)y^{n-|P|}(1-y)^{|P|}
\]
然后运用前置知识 \(2\)，设一共有 \(r=N-|p|\) 个连通块，\(a_i\) 为第 \(i\) 个连通块大小，那么有：
\[\sum_{P\subseteq S}y^{r}(1-y)^{n-r}n^{r-2}\prod_{i=1}^r a_i\\=\frac{(1-y)^n}{n^2}\sum_{P\subseteq S}\prod_{i=1}^r(\frac{yn}{1-y}\cdot a_i)
\]
考虑组合意义，上式相当于在树上选择若干个连通块，每个连通块造成 \(\frac{yn}{1-y}\cdot a_i\) 的贡献，所有连通块贡献之积的和。而 \(a_i\) 不好处理，继续组合意义，相当于连通块任选一个数的方案。
那么就可以设计出一个 dp，令 \(f_{i,k\subseteq\{1,0\}}\) 表示 \(i\) 的子树，当前连通块做出/没有做出贡献的答案之和，转移很好转移，复杂度 \(O(n)\)。
问题 \(2\)
仍然采用上面的方法推一遍：
\[\sum_S\sum_T y^{n-|S\cap T|}\\=\sum_S\sum_T\sum_{P\subseteq S\cap T}\sum_{Q\subseteq P}y^{n-|Q|}\\=\sum_P (g(P))^2 y^{n-|P|}(1-y)^{|P|}\\=\sum_P y^r(1-y)^{n-r}(n^{r-2}\prod_{i=1}^r a_i)^2\\=\frac{(1-y)^n}{n^4}\sum_P\prod_{i=1}^r(\frac{yn^2}{(1-y)}\cdot a_i^2)
\]
枚举 \(A\) 作为 \(a_i\) 代表的可重集，令 \(h(A)\) 为生成的集合为 \(A\) 的边集数量，那么有：
\[\frac{(1-y)^n}{n^4}\sum_{A}h(A)\prod_{i=1}^{|A|}(\frac{yn^2}{1-y}\cdot a_i^2)
\]
可以发现 \(h(A)\) 代表 \(n\) 个有标号点放入 \(|A|\) 个无标号盒子，盒子内球数量集合为 \(A\)，且每个无标号盒子内组成一个无根树的方案数，那么可以得到：
\[h(A)=\frac{1}{|A|!}\frac{n!}{\prod_{i=1}^{|A|} a_i!}\prod_{i=1}^{|A|} a_i^{a_i-2}
\]
带入上面有：
\[\frac{(1-y)^m}{n^4}\sum_A\frac{n!}{|A|!}\prod_{i=1}^{|A|}(\frac{yn^2}{1-y}\cdot\frac{a_i^{a_i}}{a_i!})
\]
（上面的推导只是为了让得到生成函数更加简单）
我们发现这是一个生成函数形式，具体地设 EGF \(G(x)\) 为：
\[G(x)=\sum_{k}\frac{yn^2}{1-y}\cdot\frac{k^k}{k!}
\]
那么答案为：
\[\frac{(1-y)^m}{n^4}[x^n]\sum_{k=1}^n\frac{G^k(x)}{k!}\\=\frac{(1-y)^m}{n^4}[x^n]\exp G(x)
\]
于是直接上多项式板子就好了，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
代码