科学计算与数学建模

一.数学的作用

数学是科学之母,科学技术离不开数学,它通过建立数学模型与数学产生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长于处理各种复杂的依赖关系,精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。

二.科学计算

科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算,是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科,是数学及计算机应用于高科技领域必不可少的纽带和工具。

随着计算机技术的飞速发展,科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。了解或掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必需的技能。因此,科学计算与数学建模的基本知识和方法是当代科技人员,尤其是理工科大学生必备的数学素质。

三.数学建模的过程

 

　　实际问题 ---> 数学模型

（1）.分析问题 ---> 将与问题相关的因素都分析出来。（X_1，X₂，...  ,Xn）。

（2）.问题假设 ---> 简化问题---> 问题相关的主要因素取，问题相关的次要因素去。

（3）.模型的构成 ---> 找出主要因素的关系，将问题转化为数学问题。

（4）.求解问题 ---> 用数学方法求解，解析法，数值法。

（5）.解分析 ---> 分析解的可靠性  精度，稳定，收敛 ---> 解对模型可靠。

（6）.解的检验 ---> 用实际数据验证解与真实问题结果相符---> 解对现实问题可靠。

（7）.模型迭代 ---> 用实际数据验证解与真实问题结果相符---> 解对现实问题可靠。

（8）.解的应用 ---> 应用用于实际问题的解决。

（9）.解的推广 ---> 推广普适。

 四.数学建模的重要意义

作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模自然有着与 数学同样悠久的历史。进入20世纪以来,随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透,以及计算机的出现与飞速发展,数学建 模越来越受到人们的重视,数学建模在现实世界中有着重要意义。

　　　　Ø在高新技术领域,数学建模是必不可少的工具

　　　　Ø在一般工程技术领域,数学建模大有用武之地

　　　　Ø数学建模是使数学迅速进入一些新领域的先导 

“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”, 数学“由研究到工业领域的技术转化,对加强经济竞争力是有重要意义”,而“计算和建模重新成为中心课题, 它们是数学科学技术转化的主要途径”。 

五.解析解，精确解，数值解，近似解

 六.数值方法与算法评价 

算法定义:数值方法是指将所欲求解的数学模型(数学问题)简化成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计算机上求出问题的数值解,并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”,不只是单纯的数学公式,而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。

选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。算法取得不恰当,不仅影响到计算的速度和 效率,还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、 积累直接影响到计算结果的精度,甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步,而使计算最终失败,这就是算法的数值稳定性问题。 

按不同算式和近似计算出的结果各不相同,因此在研究算法的同时,还必须正确掌握误差 的基本概念,误差在近似值运算中的传播规律,误差 分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念,否 则,一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。 

衡量一个算法的好坏时,计算时间的多少是非常重要的一个标志。由于实际的执行时间依赖于计算机的性能,因此所谓算法所花时间是用它执行的所有基本运算,如算术运算、比较运算等的总次数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然,即使用一个算法计算同一类型的问题时,由于各问题的数据不同,计算快慢也会不同,一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。

七.误差的种类及其来源

误差的积累与传播是影响算法的重要因素,什么叫做误差?在数学建模过程中哪些环节会产生误差呢?在数值计算和数学建模过程中会出现各种误差, 可分为“过失误差” 和“非过失误差” 两大类。“过失误差”或“疏忽误差”:在工作中的粗心大意而产生的,例如笔误以及误用公式等。它完全是人为造成的,只要工作中仔细、谨慎,可以尽量减少和避免。

“非过失误差”:在数值计算中这往往是 无法避免的,例如近似值带来的误差,模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。对于“非过失误差”,应该设法尽量降低其数值,尤其要控制住经多次运算后误差的积累,以确保计算结果的精度。数值计算中, 除了可以避免的过失误差外,还有不少来源不同而又无法避免的非过失误差,主要有如下几种：

综上所述,数值计算中除了可以完全避免的过失 误差外,还存在难以避免的模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。数学模型一旦建立,进入具体计算时所要考虑和分析的就是观测误差、截断误差和舍入误差了。在计算机上经过千百次运算后所积累起来的总误差不容忽视,有时可能会大得惊人,甚至到达 “淹没”所欲求解的真值的地步,而使计算结果失去根本的意义。因此,在讨论算法时,有必要对其观测误差的传 播、截断误差的估算和舍入误差的控制作适当的分析。 

六.绝对误差和相对误差

定义1.5.1 设某一个准确值(称为真值)为 x ,其近似值为x* ,则ε(x)=x-x*称为近似值 x* 的“绝对误差”,简称“误差”。当ε(x)>0时,称为亏近似值或弱近似值,反之 则称为盈近似值或强近似值。

ε(x)由于真值往往是未知或无法知道的,因此, 的准确值(真值)也就无法求出。但一般可估计绝对误差的上限,即可以求出一个正值η ,使|ε(x)|=|x-x*| ≤η。η 称为近似值 x* 的“绝对误差限”,简称“误差限”,或称“精度”。 有时也用 x = x* ± η 来表示|ε(x)|=|x-x*| ≤η式,这时等式右端的两个数值 x*+η和x*-η代表了x所在范围的上、下限。η越小,表示该近似值x*的精度越高。用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。

这说明要评价一个近似值的精确度,除了要看其绝对误差的大小外,还必须考虑该量本身的大小,这就需要引进相对误差的概念。

定义1.5.2 绝对误差与真值之比,即：