数据结构篇

数据结构篇：

逻辑结构与物理结构的区别：

逻辑结构 ：是指数据对象中数据元素之间的相互关系

逻辑结构分类：

集合——各个元素之间是“平等”的，类似于数学里面的集合
线性结构——数据结构中的数据元素是一对一关系的
树性结构——数据结构中的数据元素之间存在一对多的层次关系
图形结构——数据结构中的数据元素之间存在多对多的关系
物理结构 ：是指数据的逻辑结构在计算机中的存储形式

物理结构的分类：

1. 顺序存储结构——把数据元素存放在地址连续的存储单元中，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的。
2. 链式存储结构—把数据元素存放在任意的存储单元中，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。通过指针来找到下一个数据元素的地址。
3. 3.索引存储结构——B+ 树

算法的五大特征

 - 有穷性——有限的步骤
 - 确定性——不可二义性
 - 可行性——每一步都是通过执行有限次数完成的
 - 输入——零个或多个输入
 - 输出——至少有一个或多个输出

链表存储结构和顺序存储结构的区别:

从逻辑结构来看：

a) 数组必须事先定义固定的长度（元素个数），不能适应数据动态地增减的情况。当数据增加时，可能超出原先定义的元素个数；当数据减少时，造成内存浪费；数组可以根据下标直接存取。

b) 链表动态地进行存储分配，可以适应数据动态地增减的情况，且可以方便地插入、删除数据项。（数组中插入、删除数据项时，需要移动其它数据项，非常繁琐）链表必须根据next指针找到下一个元素

从内存存储来看：

a) (静态)数组从栈中分配空间, 对于程序员方便快速,但是自由度小

b) 链表从堆中分配空间, 自由度大但是申请管理比较麻烦

从上面的比较可以看出，如果需要快速访问数据，很少或不插入和删除元素，就应该用数组；相反， 如果需要经常插入和删除元素就需要用链表数据结构了。

栈和队列的区别：

栈和队列都是线性表，都是限制了插入删除点的线性表（或者说是控制了访问点的线性表）
　　共同点：都是只能在线性表的端点插入和删除
　　不同点：栈的插入和删除都在线性表的同一个端点，该点通称栈顶，相应地，不能插入删除的另一个端点通称栈底，其特性是先进后出，队列在线性表的表头插入，表尾删除，表头一般称队头，表尾一般称队尾，其特性是先进先出
　　相同之处：n个（同类）数据元素的有限序列称为线性表。线性表的特点是数据元素之间存在“一对一”的关系，栈和队列都是操作受限制的线性表，他们和线性表一样，数据元素之间都存在“一对一”的关系不同之处：栈只允许在一段进行插入或删除操作的线性表，其最大的特点是“先进后出 ”；对列是只允许在一端进行插入，另一端进行删除操作的线性表，其最大的特点是“先进先出”。

二叉树的特点：

1、每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为2。
2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。
3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。
4、二叉树可以是空树、只有一个根结点、根结点只有左子树、根结点只有右子树、根结点左右子树都有。

度为2 的树：树的结点的最大的度为2.

图小结：

图结构中结点之间的关系是任意的，图中的任意两个结点都可能有关系。

图分为有向图和无向图

有向图的基本算法：拓扑排序、最短路径（Dijkstra算法和Floyd算法）。

无向图的基本算法：最小生成树（prime算法，Kruska算法）、DFS、BFS

深度优先遍历与广度优先遍历

深度优先遍历 类似于二叉树的先序遍历，步骤：
（1）访问起始点v

（2）若v的第一个邻接点没有被访问过，则深度遍历该邻接点；

（3）若v的第一个邻接点已经被访问，则访问其第二个邻接点，进行深度遍历；重复以上步骤直到所有节点都被访问过为止

广度优先算法 类似于层次遍历，步骤：
（1）访问起始点v

（2）依次遍历v的所有未访问过得邻接点

（3）再依次访问下一层中未被访问过得邻接点；重复以上步骤，直到所有的顶点都被访问过为止

深度优先遍历，时间复杂度是O(n²)或O(n+e)，使用递归
广度优先遍历，时间复杂度是O(n+e)或O(n²,其中e为图中边的个数，使用队列。

最小生成树的算法（普利姆算法，克鲁斯卡尔算法）

普利姆算法（Prim），算法执行过程：
将v0到其他顶点的所有边当做候选边
重复以下过程，直到所有的顶点被并入树中

1.从候选边中挑选出最小的边输出，并将于该边的另一端顶点并入树中
	2.考查所有剩余的顶点，选取与这棵树相接的边最短的边

时间复杂度为O(n2)，适用于稠密图

克鲁斯卡尔算法，思路：
每次找出后候选边中权值最小的边，并入生成树中，算法执行过程

将图中边按照权值从小到大排序，
然后从最小边开始扫描，
并检测当前边是否为候选边，即是否该边并入会构成回路

最短路径

迪杰斯特拉算法，用于计算图中某一结点到其余顶点的最短路径，思路：集合s存放图中一找到最短路径的顶点集合，U存放途中剩余顶点，算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距点集v最近的顶点k（min），把k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改V中点到U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

拓扑排序的概念以及实现（AOV网）

一种以顶点表示活动，以边表示活动的先后次序且没有回路的有向图，反映出整个工程中各个活动之间的先后关系的有向图。

拓扑算法的核心过程：
1.从有向图中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点输出。
2.删除1中的顶点，并且删除从该顶点发出的全部边
3.一直重复。若图中没有环的时候，还可采用深度优先搜索遍历的方法进行拓扑排序

关键路径的相关概念

AOE网——对于活动在边上的我网

AOV和AOE的区别
相同点: 都是无环图
不同点：AOV活动在顶点，边无权值，代表活动之前的先后关系，
AOE活动在边，边有权值，代表活动持续的时间

关键路径的核心算法：最大路径长度的路径称为关键路径

关键活动：关键路径上的活动为关键路径，关键活动的最早开始时间等于最晚开始时间。由于AOE网中的某些活动是可以同时发生的，所以完成整个工程的时间应该是从始点到终点的最大路径长度，关键路径长度即为工程的最短完成时间。

各种查找方法

静态查找表：顺序查找、折半查找、分块查找

动态查找表：二叉排序树、平衡二叉树

顺序查找：结构简单，顺序结构和链式结构都可以，查找效率低

折半查找：要求查找表为顺序存储结构并且有序

分块查找：先把查找表分为若干子表，要求每个子表的元素都要比他后面的子表的元素小，从而保存块间是有序的，把各子表中的最大关键词构成一张索引表，表中还包含各子表的起始地址。
特点：块间有序，块内无序，查找时块间进行索引查找，块内进行顺序查找。

平衡二叉树：左右子树高度差不能大于1，且左右子树也都是平衡二叉树

快速排序：

快速排序(Quick Sort)使用分治法策略。它的基本思想是：在数据序列中选择一个元素作为基准值，每躺从数据序列的两端开始交替进行，将小于基准值元素交换到序列前端，将大于基准值的元素交换到序列后端，介于两者之间的位置则成为基准值的最终位置。同时，序列被划分成两个子序列，再分别对两个子序列进行快速排序，直到子序列长度为1，则完成排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列

快速排序的优化

1.当整个序列有序时退出算法；
2.当序列长度很小时（根据经验是大概小于 8），应该使用常数更小的算法，比如插入排序等；
3.随机选取分割位置；
4.当分割位置不理想时，考虑是否重新选取分割位置；
5.分割成两个序列时，只对其中一个递归进去，另一个序列仍可以在这一函数内继续划分，可以显著减小栈的大小（尾递归）：
6.将单向扫描改成双向扫描，可以减少划分过程中的交换次数

优化1：当待排序序列的长度分割到一定大小后，使用插入排序
原因：对于很小和部分有序的数组，快排不如插排好。当待排序序列的长度分割到一定大小后，继续分割的效率比插入排序要差，此时可以使用插排而不是快排
优化2：在一次分割结束后，可以把与Key相等的元素聚在一起，继续下次分割时，不用再对与key相等元素分割
优化3：优化递归操作，快排函数在函数尾部有两次递归操作，我们可以对其使用尾递归优化
优点：如果待排序的序列划分极端不平衡，递归的深度将趋近于n，而栈的大小是很有限的，每次递归调用都会耗费一定的栈空间，函数的参数越多，每次递归耗费的空间也越多。优化后，可以缩减堆栈深度，由原来的O(n)缩减为O(logn)，将会提高性能。

各种排序：

堆排序（Heap Sort）

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
最小/大堆用于求最小/大值，堆序列用于多次求极值的应用问题。

算法描述：将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；
由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

堆排序算法分析：最佳情况：T(n) = O(nlog2n) 最差情况：T(n) = O(nlog2n) 平均情况：T(n) = O(nlog2n)
直接选择排序算法有两个缺点：选择最小值效率低，必须遍历子序列，比较了所有元素后才能选出最小值，每躺将最小值交换到前面，其余元素原地不动，下一趟没有利用前一躺的比较结果，需要再次比较这些元素，重复比较很多。
堆排序改进了直接选择排序，采用最小/最大堆选择最小/最大值

归并排序

归并排序（MERGE-SORT）是利用归并的思想实现的排序方法，该算法采用经典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解，而治(conquer)的阶段则将分的阶段得到的各答案"修补"在一起，即分而治之)。
算法描述：
把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
对这两个子序列分别采用归并排序；
将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

B树和B+树的区别，以一个m阶树为例。

关键字的数量不同：B+树中分支结点有m个关键字，其叶子结点也有m个，其关键字只是起到了一个索引的作用，但是B树虽然也有m个子结点，但是其只拥有m-1个关键字。

存储的位置不同：B+树中的数据都存储在叶子结点上，也就是其所有叶子结点的数据组合起来就是完整的数据，但是B树的数据存储在每一个结点中，并不仅仅存储在叶子结点上。

分支结点的构造不同：B+树的分支结点仅仅存储着关键字信息和儿子的指针（这里的指针指的是磁盘块的偏移量），也就是说内部结点仅仅包含着索引信息。

查询不同:B树在找到具体的数值以后，则结束，而B+树则需要通过索引找到叶子结点中的数据才结束，也就是说B+树的搜索过程中走了一条从根结点到叶子结点的路径。

数据的存储结构

1. 顺序存储。把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存 储单元的邻接关系来体现。其优点是可以实现随机存取，每个元素占用最少的存储空间；缺点是 只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能产生较多的外部碎片。

2. 链式存储。不要求逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻，借助指示元素存储地址的指针来表 示元素之间的逻辑关系。其优点是不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元；缺点是每个元 素因存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取。

3. 索引存储。在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引 项的一般形式是（关键字，地址）。其优点是检索速度快；缺点是附加的索引表额外占用存储空 间。另外，增加和删除数据时也要修改索引表，因而会花费较多的时间。

4. 散列存储。根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希(Hash) 存储。其优点是 检索、增加和删除结点的操作都很快；缺点是若散列函数不好，则可能出现元素存储单元的冲 突，而解决冲突会增加时间和空间开销。

队列在计算机系统中的应用？

队列在计算机系统中的应用非常广泛，以下仅从两个方面来简述队列在计算机系统中的作用：第 一个方面是解决主机与外部设备之间速度不匹配的问题，第二个方面是解决由多用户引起 的资源竞争问题。

对于第一个方面，仅以主机和打印机之间速度不匹配的问题为例做简要说明。主机输出数据给打 印机打印，输出数据的速度比打印数据的速度要快得多，由于速度不匹配，若直接把输出的 数据送给打印机打印显然是不行的。解决的方法是设置一个打印数据缓冲区，主机把要打印输出 的数据依次写入这个缓冲区，写满后就暂停输出，转去做其他的事情。打印机就从缓冲区中按照 先进先出的原则依次取出数据并打印，打印完后再向主机发出请求。主机接到请求后再向缓冲区 写入打印数据。这样做既保证了打印数据的正确，又使主机提高了效率。由此可见，打印数据缓 冲区中所存储的数据就是一个队列。
对于第二个方面， CPU (即中央处理器，它包括运算器和控制器）资源的竞争就是一个典型 的例子。在一个带有多终端的计算机系统上，有多个用户需要CPU 各自运行自己的程序，它们分别通过各自的终端向操作系统提出占用CPU 的请求。操作系统通常按照每个请求在时间上的先后 顺序，把它们排成一个队列，每次把CPU 分配给队首请求的用户使用。当相应的程序运行结束或 用完规定的时间间隔后，令其出队，再把CPU 分配给新的队首请求的用户使用。这样既能满足每 个用户的请求，又使CPU 能够正常运行。

头节点的作用：

在链表中设置头结点：作用是为了链表操作时，可以对空表、非空表以及对首元素结点进行统一处理。
深度优先和广度优先的对比*
深度优先搜索(回溯法)
算法思路
深度优先搜索(DFS,Depth-First Search)是搜索的手段之一
它从某个状态开始,不断地转移状态直到无法转移,然后回退到前一步状态,继续转移到其他状态,如此不断重复,直到找到最终的解.根据深度优先搜索的特点,采用递归函数(隐式地利用了栈进行计算)实现比较简单.

算法效率
深度优先搜索从最开始的状态出发,遍历所有可以到达的状态.由此可以对所有的状态进行操作,或列举出所有的状态.作为搜索算法的一种,DFS对于寻找一个解的NP(包括NPC)问题作用很大.

但是,搜索算法毕竟是时间复杂度是O(n!)的阶乘级算法，它的效率比较低,在数据规模变大时,这种算法就显得力不从心了.关于深度优先搜索的效率问题,有多种解决方法.最具有通用性的是剪枝(prunning),也就是去除没有用的搜索分支.有可行性剪枝和最优性剪枝两种.此外,对于很多问题,可以把搜索与动态规划(DP,dynamic programming)、完备匹配(匈牙利算法)等高效算法结合.

2.宽度优先搜索(分支限界法)
算法思路
宽度优先搜索(BFS,Breadth-First Search)也是搜索的手段之一.他与深度优先搜索类似,从某个状态出发搜索所有可以到达的状态.根据宽度优先搜索的特点,采用队列实现比较简单.

算法效率
与深度优先不同之处在与搜索的顺序,宽度优先搜索总是先搜索距离初始状态近的状态.也就是说,它是按照开始状态->只需1次转移就可以到达的所有状态->只需2次转移就可以到达的所有状态->…这样的顺序进行搜索.对于同一个状态,宽度优先搜索只经过一次,因此复杂度为

O(状态数*转移的方式).很容易地用来求最短路径、最少操作之类问题的答案.

广度搜索的判断重复如果直接判断十分耗时,我们一般借助哈希表来优化时间复杂度.

3.Death-Breadth总结
宽度优先搜索与深度优先搜索一样,都会生成所有能够遍历到的状态,因此需要对所有状态进行处理时使用宽度优先也是可以的.但是递归函数可以很简短地编写,而且状态的管理也更简单,所以大多数情况下还是用深度优先搜索实现.反之,在求取最短路时深度优先搜索需要反复经过同样的状态,所以还是使用宽度优先搜索比较好.

宽度优先搜索会把状态逐个加入队列,因此通常需要与状态数成正比的内存空间.反之,深度优先搜索是与最大的递归深度成正比的.一般与状态数相比,递归的深度并不会太大,所以可以认为深度优先搜索更加节省内存.

部分参考：https://blog.csdn.net/weixin_44177594/article/details/105932432?spm=1001.2014.3001.5502