问题描述:
对于两个序列X和Y的公共子序列中,长度最长的那个,定义为X和Y的最长公共子序列。X Y 各自字符串有顺序,但是不一定需要相邻。
最长公共子串(Longest Common Substring ):顺序相同,并且各个字符的位置也必须相邻。
最长公共子序列(Longest Common Subsequence,LCS ):顺序形同,各个字符的位置不一定相邻。
比如:
字符串 13455 与 245576 的最长公共子序列为455
字符串 acdfg 与 adfc 的最长公共子序列为adf adf在acdfg中的顺序相同,但是不相邻。
1:暴力求解
即对X的每一个子序列,检查它是否也是Y的子序列,从而确定它是否为X和Y的公共子序列,并且在检查过程中选出最长的公共子序列。X和Y的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的最长公共子序列。X的一个子序列相应于下标序列{1, 2, …, m}的一个子序列,因此,X共有2m个不同子序列(Y亦如此,如为2^n,每个元素都有取或者不取的情况),从而穷举搜索法需要指数时间(2^m * 2^n)。
2:动态规划
先定义一些内容:定义两个字符串X,Y
Xi=<x1,x2.....xi> 表示字符串的 i 前缀
Yj = <y1,y2....yj> 表示字符串y的j前缀
用LCS(Xi,Yj) 表示字符串X,Y的最长公共子序列
如果:
- Xm = Yn(如果字符串X的第m位置上的字符等于字符串Y的第n个位置上的字符(下面类似,不再表述))
则LCS(Xm,Yn) = LCS(Xm-1,Yn-1)+Xm
- Xm != Yn
则LCS(Xm,Yn) = LCS(Xm-1,Yn) 或者LCS(Xm,Yn)=LCS(Xm,Yn-1)
但是为了追求最大的公共子串则可以这么定义:LCS(Xm,Yn) = max { LCS ( Xm-1 , Yn ) , LCS( Xm , Yn-1 ) }
所以综上两种情况,我们可以得出如下的推导公式:
最后的最长公共子序列 ,为了将问题变成数学问题,可以这么定义上面的过程。
- 利用一个二维数组表示每一部分LCS的长度 c[m][n]
- 用c[i][j] 记录字符串Xi和Yj的最长公共子序列长度。
因此可以得到下面的推论:
为了方便表示,我们可以将字符的从1开始。
下面是一个实例图
对于 X = ABCBDAB
Y = BDCABA
下面是具体的代码演示:
1 import java.util.Stack; 2 3 /** 4 * 题目:最长公共子序列。(longest common subsequence) 5 * 比如字符串a = acdfg b =adfc 则其lcs 为 adf 。 6 * 思路:可以利用动态规划的思想。 7 * 8 * @author Xia 9 * 10 */ 11 public class StringLCS { 12 public String lsc(String s1,String s2){ 13 int len1 = s1.length(); 14 int len2 = s2.length(); 15 //用一个二维数组表示,这里面为了方便表示将数组行、列都扩大一个(想一想原因,可以结合上面的模式图思考) 16 int[][] c = new int[len1 + 1][len2 + 1]; 17 //为了配合上面的增加一列,字符串中也应该增加一个字符 18 s1 = ","+s1; 19 s2 = "?"+s2; 20 21 //c中的第一行第一列都赋值为0 22 int i,j; 23 for (i = 0; i <= len1; i++) { 24 c[i][0] = 0; 25 } 26 27 for (j = 0; j <= len2; j++) { 28 c[0][j] = 0; 29 } 30 //这里面开始遍历的时候必须从1开始 31 for ( i = 1; i <= len1; i++) { 32 for ( j = 1; j <= len2; j++) { 33 if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) { 34 c[i][j] = c[i-1][j-1]+ 1; 35 }else { 36 c[i][j] = Math.max(c[i-1][j], c[i][j-1]); 37 } 38 } 39 } 40 //--------------两层for循环结束后即可得到最长公共子序列的长度 41 42 //--------------开始求解最长公共子序列------------------ 43 //从求好的二维数组末端开始向前寻找,那么为了最后能够最长的输出子序列,需要定义一个stack 44 i = len1; 45 j = len2; 46 Stack<Character> s = new Stack<Character>(); 47 while (i != 0 && j != 0) { 48 if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) { 49 s.push(s1.charAt(i)); 50 i--; 51 j--; 52 }else { 53 if (c[i][j-1] > c[i-1][j]) { 54 j--; 55 }else { 56 i--; 57 } 58 } 59 } 60 //-------------到这一步,已经求好了最长公共子序列并且存储在stack中 61 StringBuilder sb = new StringBuilder(); 62 while (!s.isEmpty()) { 63 sb.append(s.pop()); 64 } 65 return sb.toString(); 66 } 67 68 }
测试类:
public class Test { public static void main(String[] args) { StringLCS lcs = new StringLCS(); String s1 = "acdfg"; String s2 = "adcf"; String result = lcs.lsc(s1, s2); System.out.println(result); //acf } }
总结:根据最后的结论,多运行几次我们可以看到,其实最长公共子序列是可以有多种情况的。
还会继续更新关于其他的字符串的操作算法演示。