一、前言
这里稍微证明一下基于比较的排序算法的下界，采用决策树模型。下图是一个含三个元素的输入序列，采用插入排序算法的决策树。每一个结点里面包含（i,j）。左子树代表i<=j的情况，右子树代表i>j的情况。
各位，如果有跟我一样，半天看不懂的话，我就稍微解释一下。拿（1,2,3）这个序列的得出，稍作说明。在根节点处，1和2比较（输入位置为1的元素与输入位置为2的元素比较，不是1和2比较，下同）。 1<2，进入到左子树。 2和3比较， 2<3，还是到左子树 得出排序后的序列（1,2,3）。
有一点要说明的是：任何一个正确的排序算法，都能产生全部n!个序列。这n!个序列对应决策树中的所有叶节点。
从这个模型明显可以得出结论：从根节点到任意一个叶节点之间最长路径的长度，也即决策树的高度（每一本书所说的高度概念不一致，这里取图中的高度为3），表示排序算法在最坏情况下的比较次数。
利用决策树模型对基于比较的排序算法时间下界的证明：
考虑一个高为 h， 叶节点个数为l的 决策树。 输入序列为n。 显然 n!<=l。（说明:如果不考虑n个元素有相等的情况，n!应该等于l）. 又，一个高度为h的完全二叉树的叶节点的数目为2h。 l <= 2h 即 n!<=l<=2h. 取对数可得到 h>=lg(n!)。 又， lg(n!) = Θ(nlgn); 得到 h>=Ω(nlgn);
说明一下这个：lg(n!) = Θ(nlgn);
（注：好长时间没看这些，应该是从来没有认真看过==... 都没有搞清楚 Ο Θ Ω 这个几个符号的意思。翻了导论前面几章才算明白。 这个的证明要用到斯特灵公式。 我感觉已经超出我的能力范围之外了，不想花时间再去研究这玩意儿了 。）
斯特林公式参看这里 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E7%89%B9%E9%9D%88%E5%85%AC%E5%BC%8F）
简单说就是：
f(n) = Θ(g(n)) 当且仅当f(n) = Ω(nlgn)和f(n) = Ο(nlgn)。 这里的“=”并不是等号的意思。 f(n) = Θ(g(n)) 是 f(n) 属于 Θ(g(n)) 的意思，Θ(g(n)) 是一个集合。
lg(n!) = Θ(nlgn); 就是说存在 c1和c2 所有的n>=n0,有 0<=c1(nlgn) <= lg(n!) <= c2(nlgn) 。
二、三种线性时间排序
1、计数排序
计数排序就是根据元素的值统计元素的个数，然后直接把元素放到合适的位置，以达到Θ(n)的目的。思路也很简单，废话不多说，直接上代码
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 void countingSort(int *A,int n,int *B,int *C,int k) 4 { 5 //A为待排序的数组； 6 //n为A数组的长度； 7 //B为保存的结果； 8 //C为临时存储区 长度为k 9 //k为n个数据输入的范围； 0~~k-1 10 for(int i=0;i<k;i++) 11 C[i] = 0; 12 for(int j=0;j<n;j++) 13 C[A[j]] += 1; //统计每个位置的个数 14 for(int i=1;i<k;i++) 15 C[i] += C[i-1]; //c[i]表示小于等于i的个数 16 for(int j = n-1;j>=0;j--)//放到合适的位置,因为是从0开始 要减1 17 { 18 B[C[A[j]]-1] = A[j]; //c[i]表示小于等于i的个数 B[]从0开始 c[i]-1 表示在B中的位置 19 C[A[j]] -= 1; 20 } 21 } 22 int main() 23 { 24 int n=11;//待排序的长度 25 int k=11;//数字范围 为 0~~k-1 26 int a[n] ; 27 int b[n] ; 28 int c[k] ; 29 for(int i=0;i<n;i++) 30 a[i] = rand()%k ; 31 for(int i=0;i<n;i++) 32 printf("%d ",a[i]); 33 printf("\n"); 34 countingSort(a,n,b,c,k); 35 for(int i=0;i<n;i++) 36 printf("%d ",b[i]); 37 return 0; 38 }
写代码的时候，习惯从0开始了。导致第四个for循环的时候忘记减1了，纠结了好久。。。。显然可以看出上面的计数排序的Θ(n+k)。好吧，我一开始也不知道这个是怎么来的。一共四个循环，Θ(2n+2k)，去掉常数就是Θ(n+k)，n表示待排序数组，k表示要排序的的值的范围。这样，计数排序就很有局限了，k的值注定了这种排序的适用范围很小。
2、桶排序
也许看完上面的计数排序，你会发现既然C数组已经统计完了每个值的个数，那么直接扫描一遍C数组，依次序输出也就OK了。这个就算是桶排序了，这里的每个桶只能存储一个值，算作是特殊的桶排序吧。将上面的代码稍作改变就可以得到：
1 void BucketSort(int *A,int n,int *B,int *C,int k) 2 { 3 //A为待排序的数组； 4 //n为A数组的长度； 5 //B为保存的结果； 6 //C为临时存储区 长度为k 7 //k为n个数据输入的范围； 0~~k-1 8 for(int i=0;i<k;i++) 9 C[i] = 0; 10 for(int j=0;j<n;j++) 11 C[A[j]] += 1; //统计每个位置的个数 12 int j=0; 13 for(int i=0;i<k;i++) 14 { 15 while(C[i]!=0) 16 { 17 B[j++] = i; 18 C[i]--; 19 } 20 } 21 }
一般桶排序的操作步骤就是：
1、确定要排序数组的取值范围，并划分成M个区间；
2、给这个M区间划分M个桶，并对每个桶内进行排序；
3、再依次序把这M个桶的元素串接起来。
这里上一幅导论里面的图，它讲100划分成10个区间，设计10个桶。然后将数组里面的元素放到相应的桶里面去。
附上我写的代码（实际是参考别人写的==！ 一个链表操作写了好长时间，还被别人鄙视了无数遍。。。。。。。。。）
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> struct Node { int value; Node *next; }; void BucketSort(int *array,int n,int low,int high,int interval) {//low和high分别代表 元素的最小值 和最大值 //n为待排序数组长度，interval间隔 int BucketNum = (high-low)/interval;//有多少个桶 Node *BucketArray = new Node[BucketNum]; Node *pre,*cur; int count=0; for(int i=0;i<10;i++) { BucketArray[i].value = 0; BucketArray[i].next = NULL; //初始化。。。。 } for(int i=0;i<n;i++) { Node *insert = new Node(); insert->value = array[i]; //待插入的节点 int num = array[i]/interval; if(BucketArray[num].next == NULL) { BucketArray[num].next = insert; //每个桶的第一个节点保持空 } else { pre = &BucketArray[num]; cur = BucketArray[num].next; while(cur!=NULL && cur->value<=array[i])//找到合适的位置。 { cur = cur->next; pre = pre->next; } insert->next = cur; pre->next = insert; } } for(int i=0;i<BucketNum;i++) { cur = BucketArray[i].next; if(cur == NULL) continue; while(cur!=NULL) { array[count++] = cur->value; cur = cur->next; } } } int main() { int a[10]; for(int i=0;i<10;i++) { a[i] = rand()%100;//随机数 } BucketSort(a,10,0,100,10); for(int i=0;i<10;i++) { printf("%d ",a[i]); } return 0; }
这段代码里面，设元素有N个，M个桶，平均每个桶里面有N/M个元素。在桶里面的，我没有采用其他的排序算法，简单的插入。因此桶里面为Θ(N/M)。总的时间复杂度为 Θ(N * N/M)=Θ(N2/M) ，可以看出来，当桶的数量越多。。。趋近于N时，时间复杂度就为Θ(N)了。
3、基数排序
基数排序是对多个关键字的排序。两种方式，一是从首要关键字到次要关键字，另外一种是从次要关键字到首要关键字。导论上面说的是第二种。如果是从首要关键字开始，就要对首要关键字相同的进行分堆，再根据次要关键字排序。增加开销，有点桶排序的味道了。
这里我以技术排序为基础，从次要关键字开始，写了这个基数排序：
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <math.h> 4 void countingSort(int *A,int n,int *C,int k,int d) 5 { 6 //A为待排序的数组； 7 //n为A数组的长度； 8 //B为保存的结果； 9 //C为临时存储区 长度为k 10 //k为n个数据输入的范围； 0~~k-1 11 int B[n]; 12 int key=0; 13 for(int i=0;i<k;i++) 14 C[i] = 0; 15 for(int j=0;j<n;j++) 16 { 17 key = (A[j]/(int)(pow(10,d)))%10;//分离位数用。。。。 18 C[key] += 1; //统计每个位置的个数 19 } 20 for(int i=1;i<k;i++) 21 C[i] += C[i-1]; //c[i]表示小于等于i的个数 22 for(int j = n-1;j>=0;j--)//放到合适的位置,因为是从0开始 要减1 23 { 24 key = (A[j]/(int)(pow(10,d)))%10; 25 B[C[key]-1] = A[j]; //c[i]表示小于等于i的个数 B[]从0开始 c[i]-1 表示在B中的位置 26 C[key] -= 1; 27 } 28 for(int i=0;i<n;i++) 29 { 30 A[i]=B[i]; 31 } 32 } 33 void radixSort(int A[],int n,int d) 34 { 35 int k=10;//数字范围 为 0~~k-1 36 int C[k] ; 37 for(int i=0;i<d;i++) 38 { 39 countingSort(A,n,C,k,i); 40 } 41 } 42 int main() 43 { 44 int A[10]; 45 for(int i=0;i<10;i++) 46 A[i] = rand()%999; 47 for(int i=0;i<10;i++) 48 printf("%d ",A[i]); 49 printf("\n"); 50 radixSort(A,10,3); 51 for(int i=0;i<10;i++) 52 printf("%d ",A[i]); 53 return 0; 54 }
有人跟我说，代码里面key对 位数的获取 ，可以用位操作，我想了想，需要BCD码，没有想到特别好的解决方案，还是这样易懂。我总觉得硬性搞成位操作反而有点麻烦了，没有多大意义。没有让人眼睛一亮的解决方案。上面的代码时间复杂度为Θ(d(n+k));
三、总结
显然，线性时间排序有很大的局限，对数据值范围有要求。
另外，写这三个排序，原本以为半天多都可以搞定，结果弄了两三天。遭到了无数的鄙视。。最关键还是自己不够熟悉。。
关于排序，暂时就到这里吧。开学了，下学期专业课压死人。每学期好多门课，但是都感觉没一门学得扎实。
以后如果有新的认识，我会再继续写写的。我觉得还会有续的，就是不知道多久了。。。。
持续关注数据结构算法，一来，它很重要，二来，还是有点兴趣。
最后，推荐一篇文章 挺有启发意义的。
http://mindhacks.cn/2008/06/13/why-is-quicksort-so-quick/