xdoj-1057(Lucas定理的证明及其模板）

Lucas定理的证明： 转自百度百科（感觉写的还不错）

首先你需要这个算式:

  

,其中f > 0&& f < p，然后

(1 + x) ⁿΞ(1 + x) ^sp+q Ξ( (1 + x)^p)^s· (1 + x) ^q Ξ(1 + x^p) ^s· (1 + x) ^q(mod p) 

　　

  

（modp)

所以得(1 + x) ^sp+q 

 

(mod p)
　　

我们求右边的

  

的系数为：

求左边的

  

为：

通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到

  

的系数，即
　　

 

　

所以

得证。

 Lucas定理模板

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
typedef long long LL;
const LL mod = 10007;
LL fac[mod+10];
LL n,m;
LL q_pow (LL x,LL k) {
    LL ans=1;
    while (k) {
        if (k&1) ans=ans*x%mod;
        k=k>>1;
        x=x*x%mod;
    }
    return ans;
}
LL C (LL x,LL y) {
    if (y>x)  return 0;// 重要
    LL t1=fac[x];
    LL t2=fac[x-y]*fac[y]%mod;
    return t1*q_pow(t2,mod-2)%mod;
}
LL Lucas (LL x,LL y) {
    if (y==0) return 1;//递归出口
    return C (x%mod,y%mod)*Lucas (x/mod,y/mod)%mod;
}
int main ()
{
    fac[0]=1;//一定不要忘了0
    for (int i=1;i<=mod;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    while (~scanf ("%lld %lld",&n,&m)) 
        printf ("%lld
",Lucas(m+n-1,n-1));// （多重集合取组合数）
    return 0;
}