概念
感知机是一种二元线性分类器。输入一组代表实例特征的向量,感知机可以计算出实例的类别。
二元分类指的是感知机输出的结果只有两类,代表是或否。实际应用中,一些问题要求的输出就是是或否,比如根据照片识别性别,识别图片中是否存在某种物品,根据X光片判断是否患病,判断邮件是否是垃圾邮件等等。
多个是或否的判断嵌套叠加起来,就可以处理复杂的逻辑,也可以输出多元分类。所以,使用多个类似感知机的分类器,组合成一个计算模型,可以解决多种复杂的识别/决策问题。这样的一个计算模型被叫做人工神经网络,其中的单个分类器被叫做人工神经元。
数学模型
感知机的数学模型是:
x是代表实例特征的一维数组
w是代表每个特征权重的一维数组
是两个数组的点积
b是一个代表偏置的常数
当时,感知机输出1,代表结果为true,神经元被激活;否则输出0,代表结果为false,神经元未被激活。
几何含义: 这一超平面,把空间分隔成两部分
应用示例
用感知机来实现并运算:取,
,
, 对于以下输入通过感知机计算得出y值和并运算真值表的相同,这样我们就通过感知机模拟了一个并运算函数。
|
|
|
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
下图展示了真值表的坐标,和一条代表感知机的直线。
能正确分类的直线有无数条。w和b也有无数种正确的取值。
并运算只有四个样本,两个特征,是一个最简单的例子。通常我们要处理的问题有更多样本,更多特征。
感知器可以拟合任何的线性函数,可以用来解决任何线性分类。但是解决不了线性不可分的问题,对于线性不可分问题,需要通过多个感知机组成的网络来处理。
训练
使用给定样本,寻找权重w和偏置b的过程,叫做训练
训练算法:
设置w和b默认值为0,然后不断迭代更新,直到能正确分类所有样本
其中
t代表训练样本的实际值,被称为label,y代表使用当前参数感知机的输出值,代表学习率,是一个需要手工设定的超参数。
下面的代码定义了一个包含训练方法的感知机类型。
class Perceptron(object): def __init__(self, input_num, activator): ''' 初始化感知器,设置输入参数的个数,以及激活函数。 激活函数的类型为double -> double ''' self.activator = activator # 权重向量初始化为0 self.weights = [0.0 for _ in range(input_num)] # 偏置项初始化为0 self.bias = 0.0 def __str__(self): ''' 打印学习到的权重、偏置项 ''' return 'weights :%s bias :%f ' % (self.weights, self.bias) def predict(self, input_vec): ''' 输入向量,输出感知器的计算结果 ''' # 把input_vec[x1,x2,x3...]和weights[w1,w2,w3,...]打包在一起 # 变成[(x1,w1),(x2,w2),(x3,w3),...] # 然后利用map函数计算[x1*w1, x2*w2, x3*w3] # 最后利用reduce求和 return self.activator( reduce(lambda a, b: a + b, map(lambda (x, w): x * w, zip(input_vec, self.weights)) , 0.0) + self.bias) def train(self, input_vecs, labels, iteration, rate): ''' 输入训练数据:一组向量、与每个向量对应的label;以及训练轮数、学习率 ''' for i in range(iteration): self._one_iteration(input_vecs, labels, rate) def _one_iteration(self, input_vecs, labels, rate): ''' 一次迭代,把所有的训练数据过一遍 ''' # 把输入和输出打包在一起,成为样本的列表[(input_vec, label), ...] # 而每个训练样本是(input_vec, label) samples = zip(input_vecs, labels) # 对每个样本,按照感知器规则更新权重 for (input_vec, label) in samples: # 计算感知器在当前权重下的输出 output = self.predict(input_vec) # 更新权重 self._update_weights(input_vec, output, label, rate) def _update_weights(self, input_vec, output, label, rate): ''' 按照感知器规则更新权重 ''' # 把input_vec[x1,x2,x3,...]和weights[w1,w2,w3,...]打包在一起 # 变成[(x1,w1),(x2,w2),(x3,w3),...] # 然后利用感知器规则更新权重 delta = label - output self.weights = map( lambda (x, w): w + rate * delta * x, zip(input_vec, self.weights)) # 更新bias self.bias += rate * delta
使用这个类来训练一个并函数
def f(x): ''' 定义激活函数f ''' return 1 if x > 0 else 0 def get_training_dataset(): ''' 基于and真值表构建训练数据 ''' # 构建训练数据 # 输入向量列表 input_vecs = [[1,1], [0,0], [1,0], [0,1]] # 期望的输出列表,注意要与输入一一对应 # [1,1] -> 1, [0,0] -> 0, [1,0] -> 0, [0,1] -> 0 labels = [1, 0, 0, 0] return input_vecs, labels def train_and_perceptron(): ''' 使用and真值表训练感知器 ''' # 创建感知器,输入参数个数为2(因为and是二元函数),激活函数为f p = Perceptron(2, f) # 训练,迭代10轮, 学习速率为0.1 input_vecs, labels = get_training_dataset() p.train(input_vecs, labels, 10, 0.1) #返回训练好的感知器 return p if __name__ == '__main__': # 训练and感知器 and_perception = train_and_perceptron() # 打印训练获得的权重 print and_perception # 测试 print '1 and 1 = %d' % and_perception.predict([1, 1]) print '0 and 0 = %d' % and_perception.predict([0, 0]) print '1 and 0 = %d' % and_perception.predict([1, 0]) print '0 and 1 = %d' % and_perception.predict([0, 1])