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  • 【learning】 单调队列与单调栈用法详解

    1、单调栈

    单调栈是指一个栈内部的元素具有严格单调性的一种数据结构,分为单调递增栈和单调递减栈。

     

    其具有以下两个性质:

    1,满足栈底到栈顶的元素具有严格单调性。

    2,满足栈的先进后出特性,越靠近栈顶的元素越后出栈。

     

    元素进栈过程:

    对于一个单调递增栈来说,若当前进栈的元素为a,如果a<栈顶元素,则直接将a进栈。

    如果a≥栈顶元素,则不断将栈顶元素出栈,直到满足a<栈顶元素。

    模拟一个数列构造一个单调递增栈

    进栈元素分别为3,4,2,6,4,5,2,3。

    图片所示过程即为进栈过程。

    实现单调栈STL栈和手写栈均可。

    2,单调队列。

    单调队列与单调栈及其相似,把单调栈先进后出的性质改为先进先出既可。 

    元素进队列的过程对于单调递增队列。

    对于一个元素a,如果a>队尾元素,那么直接将a扔进队列,如果a≥队尾元素,则将队尾元素出队列,直到满足 a>队尾元素即可。

    实现用STL的双端队列即可(我好像一直都是手写的)

    由于双端队列即可以在队头操作,也可以在队尾操作,那么这样的性质就弥补了单调栈只能在一边操作的不足。可以使得其左边也有一定的限制。

     

    3,时间复杂度分析

    对于每个元素,其有且仅有一次插入,最多出现一次删除,故其时间复杂度为O(n)。

    练习:

    给你n个数,让你在这n个数中选出连续的m个数(m≤n),使这m个数的极差最小,若存在多个区间使得极差均最小,输出最靠前的区间。

    很显然,$n≤10^4$时暴力明显可做,$n≤10^6$时通过线段树也可做,那如果n去到$10^7$呢?

    我们考虑用单调队列维护区间$[i,i+m-1]$的最小值和最大值,以下篇幅以维护最大值举例。

    首先,我们把前m个数扔进一个单调递增队列中,在扔进去的同时把这些数所对应的下边也扔进去。显然队头的数字即为区间[1,m]最大的数。

    考虑基于[1,m]的数据去更新[2,m+1]的最大值。若第一个数依然存在于队列中(很显然若存在仅可能位于队尾),将这个数删除,然后将第m+1个数插入改单调队列。显然队尾数字即为区间[2,m+1]的最大值。

    重复该过程n-m+1次即可,显然时间复杂度为O(n)。

    练习:bzoj1047

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