对一个罗马数字与阿拉伯数字转换算法的分析

title: 对一个罗马数字与阿拉伯数字转换算法的分析
date: 2014-12-29 18:34:30
categories: [算法]
tags: [算法,Python]

在看《Dive into Python》的单元测试时，发现用作例子的“阿拉伯数字-罗马数字”的转换算法非常的巧妙，现在发上来和大家分享一下。

romanNumeralMap = (('M',1000),
		('CM',900),
		('D',500),
		('CD',400),
		('C',100),
		('XC',90),
		('L',50),
		('XL',40),
		('X',10),
		('IX',9),
		('V',5),
		('IV',4),
		('I',1))
def toRoman(n):
	result = ""
	for numeral, integer in romanNumeralMap:
		while n >= integer:
	 		result += numeral
	 		n -= integer
	return result

def fromRoman(s):
	result = 0
	index = 0
	for numeral, integer in romanNumeralMap:
		while s[index:index+len(numeral)] == numeral:
	 		result += integer
	 		index += len(numeral)
	return result

print toRoman(1356)
print fromRoman('MCMLXXII')

这个算法的聪明之处，就在于他通过一个romanNumeralMap，把罗马数字与阿拉伯数字里面的“边界值”做出一一对应。这个边界刚刚好是罗马数字组合之间的转换。例如，I，II，III都可以通过第一个边界值组合获得；V，VI，VII，VIII可以通过V和I的组合获得。而对于一些特殊的值，则直接列出来。例如IV。通过这个边界值的组合，就能实现所需求的转换。这就类似于在一些机读卡上，需要填写1到100的数字，他会使用0,1,2,4,7这样以来:

3 = 1 + 2;
5 = 4 + 1;
6 = 4 + 2;
8 = 7 + 1;
9 = 7 + 2.

首先看一下toRoman()函数，把阿拉伯数字转换成罗马数字。它使用Python连接字符串的操作符号 + 来使“边界值”连接到一起。例如用作例子的n = 1356，程序遍历romanNumeralMap，寻找n对应的罗马数字，如果找不到，那就找刚刚比n小一点的数字对应的罗马字符。遍历在能使n 在romanNumeralMap有对应值时结束。

找到刚刚比1356小的那个值对应的罗马数字，也就是1000，M
再继续找刚刚比n = 1356 - 1000 = 356小的数，也就是100，C;
又继续找比n = 356 - 100 = 256小的数，还是100，也就是C;
再找比n = 256 - 100 = 156小的数，仍然是100，C；
继续找比n = 156 - 100 = 56 小的数，50，L；
继续找比n = 56 - 50 = 6小的数，5，V；
继续找n = 6 - 5 = 1对于的数，1，I。 结束。

所以1356对应的值为MCCCLVI。 这样的操作很类似于在十进制里面，一个数字1356 = 1000 +　300 + 50 + 6，只是阿拉伯数字里面6是一个单独的符号，而罗马数字里面VI是个V + I的组合而已。

下面再说说fromRoman()函数，把罗马数字转换成阿拉伯数字。这个函数在理解上面可能比toRoman()稍稍要困难一点。

还是用例子来说明，MCMLXXII转换成阿拉伯数字。
其中如下代码

s[index:index+len(numeral)]

作用是把字符串s中，从第index位到第index+ len(numeral)位（不包含第index + len(numeral)位自身）的字符提取出来。比如：

>>> a = 'helloworld'
>>> print a[2:5]
llo

即s的第2,3,4位被取出。

回到对s = 'MCMLXXII'的处理。

首先map中第一个罗马字符是M，只有一位，就把s 的第0位拿出来对比，发现s的第0位刚刚好是M，于是得到一个1000，index变为1，则之后从s的第一位开始。简单的说，相当于s 变成了s = 'CMLXXII'

接下来，经过一些无效的值以后，轮换到CM，发现CM为两位，就取出s的前两位，也就是CM，发现在s中刚刚好有CM,于是得到900. index再加2，则实际上s就相当于变成了LXXII

继续经过一些无效值以后，轮换到了L，发现s当前的1位为L，于是在map中有对应的值50.然后index加1，s相当于变成了XXII

接下来到了X，发现s当前的1位为X，在map中有对应的值10.然后index 再加1，s变成了XII

虽然这个时候人已经知道是12了，但是计算机还是不知道，于是继续一个X，s变为II

然后出现一个I，s变为I

终于程序找到了一个直接相等的值I，于是转换结束。

所以MCMLXXII对于的阿拉伯数字是1000+900+50+10+10+1+1 = 1972

这个方法，把一个罗马数字从高位开始逐次剥离最高位，从而渐渐的把数字缩小。

最近正在学习算法。因为越来越发现现在做的东西，如果仅仅实现功能的话，性能会出现瓶颈。希望我以后能写出更好的算法。