算法初级面试题07——前缀树应用、介绍和证明贪心策略、拼接字符串得到最低字典序、切金条问题、项目收益最大化问题、随时取中位数、宣讲会安排

第六课主要介绍图，不经常考，故今天先讲第七课的内容，介绍比较常考的树和贪心算法

 

介绍前缀树

何为前缀树？ 如何生成前缀树？

 

 

可以查有多少个字符串以“be”为前缀。

如果要判断有没有“be”这个节点，每个节点上加上一个数据项，有多少个字符串以当前节点结尾的（可以查加了多少次特定字符串）。

给一个字符串、返回多少个字符串以这个为前缀。

再加一个数据项，记录该节点被划过多少次。

大概实现：

删除逻辑：

根据path是否变为0，来判断是否继续往下删。

可以解决以下问题：

一个字符串类型的数组arr1，另一个字符串类型的数组arr2。

arr2中有哪些字符，是arr1中出现的？请打印

arr2中有哪些字符，是作为arr1中某个字符串前缀出现的？请打印

arr2中有哪些字符，是作为arr1中某个字符串前缀出现的？请打印arr2中出现次数最大的前缀。

public class Code_01_TrieTree {

    public static class TrieNode {
        public int path;//多少个到达过节点
        public int end;//多少个以这个节点结尾
        public TrieNode[] nexts;//表示下一个节点的情况

        public TrieNode() {
            path = 0;
            end = 0;
            //26个字母
            nexts = new TrieNode[26];
        }
    }

    public static class Trie {
        private TrieNode root;

        public Trie() {
            root = new TrieNode();
        }

        public void insert(String word) {
            if (word == null) {
                return;
            }
            char[] chs = word.toCharArray();
            TrieNode node = root;
            int index = 0;
            for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
                index = chs[i] - 'a';//a index 0 -- b index 1 -- ...字母对应的
                if (node.nexts[index] == null) {//没有路就新建出来
                    node.nexts[index] = new TrieNode();
                }
                node = node.nexts[index];
                node.path++;
            }
            node.end++;
        }

        public void delete(String word) {
            if (search(word) != 0) {
                char[] chs = word.toCharArray();
                TrieNode node = root;
                int index = 0;
                for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
                    index = chs[i] - 'a';
                    if (--node.nexts[index].path == 0) {
                        node.nexts[index] = null;
                        return;
                    }
                    node = node.nexts[index];
                }
                node.end--;
            }
        }

        public int search(String word) {
            if (word == null) {
                return 0;
            }
            char[] chs = word.toCharArray();
            TrieNode node = root;
            int index = 0;
            for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
                index = chs[i] - 'a';
                if (node.nexts[index] == null) {
                    return 0;
                }
                node = node.nexts[index];
            }
            return node.end;
        }

        public int prefixNumber(String pre) {
            if (pre == null) {
                return 0;
            }
            char[] chs = pre.toCharArray();
            TrieNode node = root;
            int index = 0;
            for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
                index = chs[i] - 'a';
                if (node.nexts[index] == null) {
                    return 0;
                }
                node = node.nexts[index];
            }
            return node.path;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Trie trie = new Trie();
        System.out.println(trie.search("zuo"));
        trie.insert("zuo");
        System.out.println(trie.search("zuo"));
        trie.delete("zuo");
        System.out.println(trie.search("zuo"));
        trie.insert("zuo");
        trie.insert("zuo");
        trie.delete("zuo");
        System.out.println(trie.search("zuo"));
        trie.delete("zuo");
        System.out.println(trie.search("zuo"));
        trie.insert("zuoa");
        trie.insert("zuoac");
        trie.insert("zuoab");
        trie.insert("zuoad");
        trie.delete("zuoa");
        System.out.println(trie.search("zuoa"));
        System.out.println(trie.prefixNumber("zuo"));

    }

}

贪心策略

贪心策略正确性的证明，千万不要纠结，因为纠结你能死去。

 

想练贪心，记贪心的点就够了，写对数器的方式来验证。

 

不用去纠结哪个策略，证明上哪个是对的。这是一个大套路。

 

字典序介绍

例如abc和bce对比，想象成26进制的数进行对比。

长度不等的时候，把短的后面扩长来对比，后补最小的单位。

 

题目：给定一个字符串类型的数组strs，找到一种拼接方式，使得把所有字符串拼起来之后形成的字符串具有最低的字典序。

 

 

 

什么叫做贪心？

定义一个指标，在这个指标下，把每一个样本分出一个优先来，按照优先大的先执行，优先小的后执行，这就是贪心。

贪心就是一件事情，贪心就是某一种简洁的标准，在这个标准下把所有东西分出个一二三来，然后根据这个优先级，决定一种顺序，就是贪心。

 

贪心案例：

贪心就是找距离目标最近的拿，不管最终的结果，只注重局部或者眼前的结果的方法

按照这种方法就是有可能丧失全局最优的

 

就好比两个人分5个大饼，一次可以拿一个或者两个，不吃完不允许再拿

A：用贪心方法：第一次拿两个，B拿一个，那么B最终拿3个

这个就是贪心方法失败的一个例子

 

有的时候贪心算法也是可以得到最优解的,比如还是大饼的例子，但是现在总数是7个了

A继续贪心，先两个，再两个就是4个了；

而B先1个，后2个，就只能是3个

 

介绍完贪心就回到题目：

如果对数组进行排序，再拼接一起，那是不行的。

 

 

 

正确的排序策略：

str1做前缀str2跟后面。和相反着对比。（每个字符串作为前缀贴在一起比较）

排序策略不成立的例子。

比较策略没有传递性，是一个环。

有传递性是：

这个题比较策略就是贪心策略。要确定的一件事情，排序策略是有传递性的。

 

把a.b看做成K进制的数，“abc” “efg” abcefg，其实就是abc向左移动了b这个数的长度位，再加入efg。

 

等式两边减b乘c，第二个式子减b乘a

然后再化简。

 

展开后ac抹掉，同时除与b，a移过去右，c移过去左...

 

证明排序策略是有传递性，是一个对的排序：

 

还要证明用这种排序策略得到的序列，就是字典序最小的。

先证明一件事情，序列里面任意调换两个字符串的顺序后，都会产生更大的字典序。

由于传递性：a.m1<=m1.a

 

一路下去，然后紧贴着b，b再和a交换。一路下来都是大于等于，那么肯定就只有比原始序列大。（所以原始序列是最经济的）

这是一个贪心策略从提出策略，到证明正确，要付出较大的心血。

所以用对数器来验证他对不对即可。

题目实现代码：

 

public class Code_05_LowestLexicography {

    public static class MyComparator implements Comparator<String> {
        @Override
        public int compare(String a, String b) {
            return (a + b).compareTo(b + a);
        }
    }

    public static String lowestString(String[] strs) {
        if (strs == null || strs.length == 0) {
            return "";
        }
        //按照对比器排序
        Arrays.sort(strs, new MyComparator());
        String res = "";
        for (int i = 0; i < strs.length; i++) {
            res += strs[i];
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        String[] strs1 = { "jibw", "ji", "jp", "bw", "jibw" };
        System.out.println(lowestString(strs1));

        String[] strs2 = { "ba", "b" };
        System.out.println(lowestString(strs2));

    }

}

 

 

 

题目：

一块金条切成两半，是需要花费和长度数值一样的铜板的。比如长度为20的 金条，不管切成长度多大的两半，都要花费20个铜板。一群人想整分整块金 条，怎么分最省铜板？

例如,给定数组{10,20,30}，代表一共三个人，整块金条长度为 10+20+30=60. 金条要分成10,20,30三个部分。 如果， 先把长度60的金条分成10和50，花费60 再把长度50的金条分成20和30，花费50 一共花费110铜板。

但是如果， 先把长度60的金条分成30和30，花费60 再把长度30金条分成10和20，花费30 一共花费90铜板。输入一个数组，返回分割的最小代价。

标准的哈夫曼编码问题

子节点合并在一起的代价，是加起来的和。

最终要把所有的叶节点，生成一棵树。

把数组变为小根堆，然后从堆里面取出两个组成树，在把组成的父结点，放入堆中...（如此反复）最后代价就是产生的所有非叶节点。（贪心算法，每次从小根堆里面拿最小的）

顺序是从上面往下面切割。

当这种代价，是有子代价累加/乘，一种累什么的，也可能给一个公式，这都有可能用哈夫曼编码贪出来。

要具备起概念思想，用到其他的题目中。

public class Code_02_Less_Money {

    public static int lessMoney(int[] arr) {
        //优先队列是小根堆
        PriorityQueue<Integer> pQ = new PriorityQueue<>();
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            pQ.add(arr[i]);
        }
        int sum = 0;
        int cur = 0;
        while (pQ.size() > 1) {
            cur = pQ.poll() + pQ.poll();
            sum += cur;
            pQ.add(cur);
        }
        return sum;
    }

    public static class MinheapComparator implements Comparator<Integer> {
        //输入参数的顺序都为 5  3
        //如果返回 正数（证明后面的比较小） 第二个参数排在前面   5 - 3 = 2  3排在前面
        //如果返回 负数（证明后面的比较大） 第一个参数排在前面   3 - 5 = -2 5排在前面
        //0代表两个东西一样大
        //总结：负一、正二（解决的是哪个参数排在前面）
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            return o1 - o2; // < 0  o1 < o2  负数
        }

    }

    public static class MaxheapComparator implements Comparator<Integer> {

        //等于是-(o1-o2) = o2 - o1
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            return o2 - o1; // <   o2 < o1
        }

    }

    public static void main(String[] args) {
        // solution
        int[] arr = { 6, 7, 8, 9 };
        System.out.println(lessMoney(arr));

        int[] arrForHeap = { 3, 5, 2, 7, 0, 1, 6, 4 };

        // min heap
        PriorityQueue<Integer> minQ1 = new PriorityQueue<>();
        for (int i = 0; i < arrForHeap.length; i++) {
            minQ1.add(arrForHeap[i]);
        }
        while (!minQ1.isEmpty()) {
            System.out.print(minQ1.poll() + " ");
        }
        System.out.println();

        // min heap use Comparator
        PriorityQueue<Integer> minQ2 = new PriorityQueue<>(new MinheapComparator());
        for (int i = 0; i < arrForHeap.length; i++) {
            minQ2.add(arrForHeap[i]);
        }
        while (!minQ2.isEmpty()) {
            System.out.print(minQ2.poll() + " ");
        }
        System.out.println();

        // max heap use Comparator
        PriorityQueue<Integer> maxQ = new PriorityQueue<>(new MaxheapComparator());
        for (int i = 0; i < arrForHeap.length; i++) {
            maxQ.add(arrForHeap[i]);
        }
        while (!maxQ.isEmpty()) {
            System.out.print(maxQ.poll() + " ");
        }

    }

}

项目收益最大化问题：

输入： 参数1，正数数组costs 参数2，正数数组profits 参数3，正数k 参数4，正数m

costs[i]表示i号项目的花费 profits[i]表示i号项目在扣除花费之后还能挣到的钱(利润) k表示你不能并行、只能串行的最多做k个项目 m表示你初始的资金

说明：你每做完一个项目，马上获得的收益，可以支持你去做下一个 项目。

输出： 你最后获得的最大钱数。

两个数组cost和profit，通过下标列出每个项目的花费和利润，做完项目后所得是cost+forfit，假设有资金W，一次只能做一个项目，最多做K个项目。输出获得最大的钱数。

 

贪心策略。

 

首先项目类型包括花费和利润，再根据花费放入小根堆中，然后看初始资金，在小根堆里面依次弹出头部，只要花费比W低的全部弹出。然后根据收益放入大根堆中，然后做大根堆的第一个项目。

当初始资金增加了，再看看小根堆中哪些项目可以做的，继续扔到大根堆中。一直做K个结束（或者大根堆里面没项目可做）。

public class Code_03_IPO {
    public static class Node {
        public int p;
        public int c;

        public Node(int p, int c) {
            this.p = p;
            this.c = c;
        }
    }

    public static class MinCostComparator implements Comparator<Node> {

        @Override
        public int compare(Node o1, Node o2) {
            return o1.c - o2.c;
        }

    }

    public static class MaxProfitComparator implements Comparator<Node> {

        @Override
        public int compare(Node o1, Node o2) {
            return o2.p - o1.p;
        }

    }

    public static int findMaximizedCapital(int k, int W, int[] Profits, int[] Capital) {
        Node[] nodes = new Node[Profits.length];
        for (int i = 0; i < Profits.length; i++) {
            nodes[i] = new Node(Profits[i], Capital[i]);
        }

        PriorityQueue<Node> minCostQ = new PriorityQueue<>(new MinCostComparator());
        PriorityQueue<Node> maxProfitQ = new PriorityQueue<>(new MaxProfitComparator());
        for (int i = 0; i < nodes.length; i++) {
            minCostQ.add(nodes[i]);
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            //先把能做的项目存在大根堆中
            while (!minCostQ.isEmpty() && minCostQ.peek().c <= W) {
                maxProfitQ.add(minCostQ.poll());
            }
            if (maxProfitQ.isEmpty()) {
                return W;
            }
            W += maxProfitQ.poll().p;
        }
        return W;
    }

}

随时取中位数

一个数据流中，随时可以取得中位数（之前讲过，初级2 020143）

 

不用堆的话，就用一个容器，吐出一个数就装一个，因为无序的所以装的时候也是无序的。当想要中位数的时候，要排个序，牺牲大。

 

准备两个堆，一个大根堆一个小根堆。

第一个数进入大根堆，下一个数小于等于就进大根堆。

如果从大根堆弹出一个数，就拿最后的一个数和第一个数交换，然后heapsize界限-1。

 

 

看题目怎么做：

先把数加入到大根堆中，如果发现两个堆大小差值超过了1，就把较大的弹出一个放到另外一个去。

如果要查中位数，大根堆堆顶和小根堆堆顶肯定能计算出来，因为

大根堆收集了较小的2分之N个，堆顶是其中的最大值。

小根堆收集的是较大的2分之N个，堆顶是其中的最小值。

正好卡在中间的位置。

只要当前数不是小于等于大根堆的，就扔到小根堆中。

策略是固定的：

1、如果当前数小于等于大根堆的堆顶，到大根堆，否则小根堆

2、不平衡了拿出扔到少的堆里面。

这样随时可以拿到中位数。

堆很好用（调整只和层数相关、o(logn)），几乎搞定所有贪心的题目。（面试也经常考）

优先级队列就是堆。

 

public class Code_04_MadianQuick {

    public static class MedianHolder {
        private PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<Integer>(new MaxHeapComparator());
        private PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<Integer>(new MinHeapComparator());

        private void modifyTwoHeapsSize() {
            if (this.maxHeap.size() == this.minHeap.size() + 2) {
                this.minHeap.add(this.maxHeap.poll());
            }
            if (this.minHeap.size() == this.maxHeap.size() + 2) {
                this.maxHeap.add(this.minHeap.poll());
            }
        }

        public void addNumber(int num) {
            if (this.maxHeap.isEmpty()) {
                this.maxHeap.add(num);
                return;
            }
            if (this.maxHeap.peek() >= num) {
                this.maxHeap.add(num);
            } else {
                if (this.minHeap.isEmpty()) {
                    this.minHeap.add(num);
                    return;
                }        
                if (this.minHeap.peek() > num) {
                    this.maxHeap.add(num);
                } else {
                    this.minHeap.add(num);
                }
            }
            modifyTwoHeapsSize();
        }

        public Integer getMedian() {
            int maxHeapSize = this.maxHeap.size();
            int minHeapSize = this.minHeap.size();
            if (maxHeapSize + minHeapSize == 0) {
                return null;
            }
            Integer maxHeapHead = this.maxHeap.peek();
            Integer minHeapHead = this.minHeap.peek();
            //n & 1 判断奇偶数
            //n&1是n和1做“按位与”运算
            //1的二进制只有末位是1,所以n&1就是只保留n的末位（二进制）.n&1就表示了n的奇偶性.
            if (((maxHeapSize + minHeapSize) & 1) == 0) {//两个堆的数量相同
                //如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。
                return (maxHeapHead + minHeapHead) / 2;
            }
            //如果大/小根堆数量多中间数就在大/小根堆的堆顶。
            return maxHeapSize > minHeapSize ? maxHeapHead : minHeapHead;
        }

    }

    public static class MaxHeapComparator implements Comparator<Integer> {
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            if (o2 > o1) {
                return 1;
            } else {
                return -1;
            }
        }
    }

    public static class MinHeapComparator implements Comparator<Integer> {
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            if (o2 < o1) {
                return 1;
            } else {
                return -1;
            }
        }
    }

    // for test
    public static int[] getRandomArray(int maxLen, int maxValue) {
        int[] res = new int[(int) (Math.random() * maxLen) + 1];
        for (int i = 0; i != res.length; i++) {
            res[i] = (int) (Math.random() * maxValue);
        }
        return res;
    }

    // for test, this method is ineffective but absolutely right
    public static int getMedianOfArray(int[] arr) {
        int[] newArr = Arrays.copyOf(arr, arr.length);
        Arrays.sort(newArr);
        int mid = (newArr.length - 1) / 2;
        if ((newArr.length & 1) == 0) {
            return (newArr[mid] + newArr[mid + 1]) / 2;
        } else {
            return newArr[mid];
        }
    }

    public static void printArray(int[] arr) {
        for (int i = 0; i != arr.length; i++) {
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) {
        boolean err = false;
        int testTimes = 200000;
        for (int i = 0; i != testTimes; i++) {
            int len = 30;
            int maxValue = 1000;
            int[] arr = getRandomArray(len, maxValue);
            MedianHolder medianHold = new MedianHolder();
            for (int j = 0; j != arr.length; j++) {
                medianHold.addNumber(arr[j]);
            }
            if (medianHold.getMedian() != getMedianOfArray(arr)) {
                err = true;
                printArray(arr);
                break;
            }
        }
        System.out.println(err ? "Oops..what a fuck!" : "today is a beautiful day^_^");

    }

}

宣讲会安排

一些项目要占用一个会议室宣讲，会议室不能同时容纳两个项目的宣讲。给你每一个项目开始的时间和结束的时间(给你一个数组，里面是一个个具体的项目)，你来安排宣讲的日程，要求会议室进行的宣讲的场次最多。返回这个最多的宣讲场次。

 

安排最早开始的先进行，是不行的，如果那项目持续一天，其他项目都讲不来了了。

 

按照持续时间短来安排，也得不到最优解。如果一个小项目卡在两个大项目中间，阻碍了大项目的安排，也不是最优解。

根据哪个项目早结束安排。

 

public class Code_06_BestArrange {

    public static class Program {
        public int start;
        public int end;

        public Program(int start, int end) {
            this.start = start;
            this.end = end;
        }
    }

    public static class ProgramComparator implements Comparator<Program> {

        @Override
        public int compare(Program o1, Program o2) {
            return o1.end - o2.end;
        }

    }

    public static int bestArrange(Program[] programs, int start) {
        Arrays.sort(programs, new ProgramComparator());
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < programs.length; i++) {
            if (start <= programs[i].start) {
                result++;
                start = programs[i].end;
            }
        }
        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {

    }

}

贪心策略就是经验式的东西（依靠累计）。不用纠结于证明。