poj 2480 Longge's problem 积性函数

思路：首先给出几个结论：

1.gcd(a,b)是积性函数；

2.积性函数的和仍然是积性函数；

3.phi(a^b)=a^b-a^(b-1);

记 f(n)=∑gcd(i,n),n=p1^e1*p2^e2……;

则 f(n)=∑d*phi(n/d) (d是n的约数)

          =∑(pi*ei+pi-ei)*pi^(ei-1).

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<set>
#include<vector>
#define ll __int64
#define M 50005
#define inf 1e10
#define mod 1000000007
using namespace std;
int prime[M],cnt;
bool f[M];
void init()
{
    cnt=0;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=2;i<M;i++){
        if(!f[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<M;j++){
            f[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
ll pows(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans*=a;
        b>>=1;
        a*=a;
    }
    return ans;
}
ll dfs(ll n)
{
    ll ans=1,j;
    for(int i=0;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++){
        if(n%prime[i]==0){
            j=1;
            n/=prime[i];
            while(n%prime[i]==0){
                j++;
                n/=prime[i];
            }
            ans*=(ll)(prime[i]*j-j+prime[i])*pows(prime[i],j-1);
        }
    }
    if(n>1) ans*=(ll)(2*n-1);
    return ans;
}
int main()
{
    ll n;
    init();
    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF){
        printf("%I64d
",dfs(n));
    }
    return 0;
}