四边形不等式优化

四边形不等式优化条件（转自这里）

在动态规划中，经常遇到形如下式的转台转移方程：

m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(i≤k≤j)（min也可以改为max）

上述的m(i,j)表示区间[i,j]上的某个最优值。w(i,j)表示在转移时需要额外付出的代价。该方程的时间复杂度为O(N^3)。

下面我们通过四边形不等式来优化上述方程，首先介绍什么是”区间包含的单调性“和”四边形不等式“

（1）区间包含的单调性：如果对于i≤i'<j≤j'，有w(i',j)≤w(i,j')，那么说明w具有区间包含的单调性。（可以形象理解为如果小区间包含于大区间中，那么小区间的w值不超过大区间的w值）

（2）四边形不等式：如果对于i≤i'<j≤j'，有w(i,j)+w(i',j')≤w(i',j)+w(i,j')，我们称函数w满足四边形不等式。（可以形象理解为两个交错区间的w的和不超过小区间与大区间的w的和）

下面给出两个定理

定理一：如果上述的w函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么函数m也满足四边形不等式性质。

我们再定义s(i,j)表示m(i,j)取得最优值时对应的下标（即i≤k≤j时，k处的w值最大，则s(i,j)=k）。此时有如下定理

定理二：假如m(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。

好了，有了上述的两个定理后，我们发现如果w函数满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原来的状态转移方程可以改写为下式：

m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改为max）

由于这个状态转移方程枚举的是区间长度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的长度为L-1，是之间已经计算过的，可以直接调用。不仅如此，区间的长度最多有n个，对于固定的长度L，不同的状态也有n个，故时间复杂度为O(N^2)，而原来的时间复杂度为O(N^3)，实现了优化！今后只需要根据方程的形式以及w函数是否满足两条性质即可考虑使用四边形不等式来优化了。

以51nod 1022为例子。

N堆石子摆成一个环。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

 

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

 

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

Input

第1行：N（2 <= N <= 1000)
第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000)

Output

输出最小合并代价

Input示例

4
1
2
3
4

Output示例

19

(注意，这题是环，不是线)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAX = 2005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dp[MAX][MAX], sum[MAX][MAX], s[MAX][MAX], a[MAX];

int main() {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i+n] = a[i];
    }
    for(int i = 1; i <= 2*n; i ++) {
        dp[i][i] = 0;
        s[i][i] = i;
    }
    for(int i = 1; i <= 2*n; i ++) {
        for(int j = i; j <= i+n; j ++) {
            sum[i][j] = sum[i][j-1]+a[j];
        }
    }
    for(int len = 2; len <= n; len ++) {
        for(int i = 1; i <= 2*n-len+1; i ++) {
            int j = i+len-1;
            dp[i][j] = INF;
            for(int k = s[i][j-1]; k <= s[i+1][j]; k ++){
                if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]){
                    dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j];
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    int ans = INF;
    for(int i = 1; i < n; i ++) {
        ans = min(ans,dp[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}