假硬币问题求解

题目描述：

现有八枚银币a b c d e f g h，已知其中一枚是假币，其重量不同于真币，但不知是较轻或较重，如何使用天平以最少的比较次数，决定出哪枚是假币，并得知假币比真币较轻或较重。

解法：单就求假币的问题是不难，但问题限制使用最少的比较次数，所以我们不能以单纯的回圈比较来求解，我们可以使用决策树（decision tree），使用分析与树状图来协助求解。一个简单的状况是这样的，我们比较a+b+c与d+e+f ，如果相等，则假币必是g或h，我们先比较g或h哪个较重，如果g较重，再与a比较（a是真币），如果g等于a，则g为真币，则h为假币，由于h比g轻而 g是真币，则h假币的重量比真币轻。

这个思路是直接用的逻辑推理的方法。相关代码如下所示：

 

void compare(int coins[], int i, int j, int k)
{
    if(coins[i] > coins[k])
    {
        printf("
假币 %d 较重", i+1); 
    }
    else 
    {
        printf("
假币 %d 较轻", j+1); 
    }
}

void eightcoins(int coins[])
{
    if (coins[0] + coins[1] + coins[2] == coins[3] + coins[4] + coins[5])
    {
        if (coins[6] > coins[7])
        {
            compare(coins,6,7,0);
        }
        else
        {
            compare(coins,7,6,0);
        }
    }
    else if (coins[0] + coins[1] + coins[2] > coins[3] + coins[4] + coins[5])
    {
        if (coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4])
        {
            compare(coins,2,5,0);
        }
        else if (coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4])
        {
            compare(coins,0,4,1);
        }
        else if(coins[0]+coins[3] < coins[1] + coins[4])
        {
            compare(coins,1,3,0);
        }
    }
    else if(coins[0] + coins[1] + coins[2] < coins[3] + coins[4] + coins[5])
    {
        if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4]) 
        {
            compare(coins, 5, 2, 0); 
        }
        else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4]) 
        {
            compare(coins, 3, 1, 0); 
        }
        if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4]) 
        {    
            compare(coins, 4, 0, 1); 
        }
    }
}

当然，这个问题的求解也可以利用异或的特性：两个相同的数异或以后为0。再加上利用“二分”的思想，效率可以提高不少。利用这种方法，在比较好理解的同时，也还可以将该问题进行扩展：void FalseCoins(int coins[],int start,int end)。这样，就可以不仅仅是解决固定的8枚硬币问题了。具体代码如下所示：

void myEightCoins(int coins[])
{
    int start,mid,end;
    int sum1,sum2;
    int right;

    start = 0;
    end   = 7;
    mid   = (start+end)/2;

    int i;
    sum1 = sum2 = 0;

    while (start < end - 1)
    {
        sum1 = coins[start];
        for (i = start + 1; i <= mid; i++)
        {
            sum1 = sum1 ^ coins[i];
        }
        sum2 = coins[end];
        for (i = end - 1; i > mid; i--)
        {
            sum2 = sum2 ^ coins[i];
        }
        if (sum1 == 0)
        {    
            right = start;
            start = mid + 1;
            mid   = (start+end)/2;
        }
        if (sum2 == 0)
        {
            right = end;
            end = mid;
            mid = (start+end)/2;
        }
    }
    
    if (coins[start] > coins[end])
    {
        compare(coins,start,end,right);
    }
    else
    {
        compare(coins,end,start,right);
    }
}