「题解」：07.18NOIP模拟赛T1：星际旅行

问题 A: 星际旅行

时间限制: 1 Sec  内存限制: 256 MB

题面

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题面谢绝公开。

考试心路历程

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拿到这道题感觉很懵逼，所以先搞的T2和T3，最后码了个暴力，结果还不如直接输出‘0’得分高。

暴力码了T10，花了30多分钟，感觉亏大了。主要调起来比较恶心。各种玄学低错层出不穷。

开始码出来后交了，又拉下来手模一组样例测了，hack了，整个人开始慌张，然后就调。调了半天终于过了手模样例和题示样例，觉得稳了，就交了。

后来看提交记录，之前交的也是T10……亏了亏了……

总结一下，别人这道题都是轻易拿50、80，我只拿了10，除了暴力太暴力以外，还是时间分配不合理。同样也是没仔细想完全没往欧拉回路那里想。

还是考试经验不足和实力不足的双重叠加。问题转化能力也要差很多。

题解

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每个边拆成两条边，问题等价为删掉两条边，图中仍满足存在一个欧拉路。

给出欧拉路定义：欧拉路是指从图中任意一个点开始到图中任意一个点结束的路径，并且图中每条边通过的且只通过一次。

得到欧拉路判定方式：所有点度都是偶数，或者恰好有两个点度是奇数，则有欧拉路。若有奇数点度，则奇数点度点一定是欧拉路的起点和终点，否则可取任意一点作为起点。（无向图）

根据欧拉图的判定方式我们分三种情况进行讨论：1.去掉任意2个自环  2.去掉任意1个自环和任意一条边  3.去掉两条有公共顶点的边

所以设自环数为sum_cir，情况1为：sum_cir*(sum_cir-1)，

设每个点不包括自环的度为du[i]，则情况2为：sum_cir*($sum(du[i])$)/2（每个边连两个点，所以∑du[i]把每个边算了两次）。

情况3为：$sum (du[i]*(du[i]-1)/2$，

(可以按组合数学的思路：从与i点相连的du[i]条边里面选出两个删掉，即为：$C_{du[i]}^2$，化简就是这个了。)

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#define rint register int
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,fr,to;
ll tot,first[100005],du[100005];
ll sum,sum2,rd[100005];
ll fa[100005];
ll ans=0;
inline ll get_fa(ll x)
{
    if(fa[x]==x)return x;
    return fa[x]=get_fa(fa[x]);
}
int main()
{
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    for(ll i=1;i<=n;++i)fa[i]=i;
    for(ll i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%lld %lld",&fr,&to);
        if(fr==to)sum++;
        else
        {
            du[fr]++,du[to]++;
            ll f1=get_fa(fr),f2=get_fa(to);
            fa[f1]=f2;
        }
        rd[fr]++,rd[to]++;
    }
    ll lin;
    for(ll i=1;i<=n;++i)
        if(rd[i]){lin=i,get_fa(i);break;}
    for(ll i=1;i<=n;++i)
    {
        if(rd[i]&&get_fa(i)!=fa[lin])
        {
            cout<<0<<endl;
            return 0;
        }
    }
    for(ll i=1;i<=n;++i)    
        ans+=(du[i]-1)*du[i]/2,sum2+=du[i];
    ans+=sum*sum2/2;
    ans+=sum*(sum-1)/2;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}