1、二叉树的基本概念
二叉树:二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。
根节点:一棵树最上面的节点称为根节点。
父节点、子节点:如果一个节点下面连接多个节点,那么该节点称为父节点,它下面的节点称为子 节点。
叶子节点:没有任何子节点的节点称为叶子节点。
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。
节点度:节点拥有的子树数。上图中,13的度为2,46的度为1,28的度为0。
树的深度:从根节点开始(其深度为0)自顶向下逐层累加的。上图中,13的深度是1,30的深度是2,28的深度是3。
树的高度:从叶子节点开始(其高度为0)自底向上逐层累加的。54的高度是2,根节点23的高度是3。
对于树中相同深度的每个节点来说,它们的高度不一定相同,这取决于每个节点下面的叶子节点的深度。上图中,13和54的深度都是1,但是13的高度是1,54的高度是2。
2、二叉树的类型
(1)满二叉树
除最后一层无任何子节点外,每一层上的所有节点都有两个子节点,最后一层都是叶子节点。满足下列性质:
1)一颗树深度为h,最大层数为k,深度与最大层数相同,k=h;
2)叶子节点数(最后一层)为2k−1;
3)第 i 层的节点数是:2i−1;
4)总节点数是:2k−1,且总节点数一定是奇数。
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(2) 完全二叉树
若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。满足下列性质:
1)只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边,即叶子节点只能在层次最大的两层上出现;
2)对任一节点,如果其右子树的深度为j,则其左子树的深度必为j或j+1。 即度为1的点只有1个或0个;
3)除最后一层,第 i 层的节点数是:2i−1;
4)有n个节点的完全二叉树,其深度为:log2n+1或为log2n+1;
5)满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树。
(3)平衡二叉树
又被称为AVL树,它是一颗空树或左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
(4)二叉搜索树
又称二叉查找树、二叉排序树(Binary Sort Tree)。它是一颗空树或是满足下列性质的二叉树:
1)若左子树不空,则左子树上所有节点的值均小于或等于它的根节点的值;
2)若右子树不空,则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值;
3)左、右子树也分别为二叉排序树。
3、二叉树的遍历
先序遍历:中、左、右
中序遍历:左、中、右
后序遍历:左、右、中