2298. 异或
题解：
首先我们看到这一道题，聪明的你一定发现了第10个点：n<=20000000。
但是，先不要慌，我们先来证一个不等式：
证明：x ^ y >= x - y >= gcd( x , y )。（其中‘^’代表异或）
我们先来证明左边。
从上面那一张异或与减运算的竖式中可以看出：
其实"^"和"-"运算唯一不同的地方仅仅在于运算方法上的不同。
所以我们不妨将上图中所有的数都转化成二进制。
于是就有：
这时候我们注意一下下图中圈了红圈的地方：
我们可以发现：当a=0，b=1时，a异或b=1，而a-b=-1（图中具体表现为退位）。
为了让你更好的理解，下面请看一张分析表：
所以，我们可知，对于两个数的对应的每一位a，b，均有：
a xor b >= a - b 。（xor表示异或）
所以 x xor y >= x - y ，当且仅当x与y的对应二进制位不为0和1时，等号成立。
原式左边得证。
下面我们再看到右边：x - y >= gcd( x , y )。
根据更相减损术：gcd( x , y )=gcd( y , x-y )，( x > y )
所以原式等价于x - y >=gcd( y , x-y )。
又因为b = gcd( a , b ) * k (k >= 1)，
所以x - y >=gcd( y , x-y )这个式子显然成立。
原式右边得证。
所以原式得证。
现在我们回到原题，题目的条件为：
i xor j = gcd( i , j )。
我们将它带入那个不等式中，可得：
i xor j = i - j = gcd( i , j )。
也就是说，i - j = i xor j。
所以我们只要枚举i与i xor j就行了。
代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int n,sum; 4 int main() 5 { 6 cin>>n; 7 for(int c=1;c<=n;c++)//枚举a-b（同时也是gcd(a,b)） 8 for(int a=2*c;a<=n;a+=c)//因为a>=b，所以从a=2*c开始枚举 9 if(c==(a ^ a-c))sum++;//如果 c=a^b（b=a-c），答案++ 10 printf("%d",sum);//输出答案 11 return 0; 12 }
可是，n<=20000000啊！
没事，不慌。
相信我。
你们知道微积分吗？
如果不知道，我现场告诉你一个公式：
n/1+n/2+n/3+……+n/n=n*logen (因为本人是初中蒟蒻，所以只知道有这东西)
你知道这意味着什么吗？
我们的程序的时间复杂度其实是n*logen=n*logn ！！！
所以……可以AC！
（本人的温馨提示：建议大家最好像上面的代码一样，不然会被卡常！）