HDU4466 Triangle

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static Scanner cin = new Scanner(System.in);
	static int N = 5000000, m = 1000000007;
	static int n, f[] = new int[N + 10], p2[] = new int[N + 10], C;

	private static void init() {
		f[3] = 1;
		p2[1] = 1;
		p2[2] = 2;
		for (int i = 4; i <= N; i++) {
			f[i] = f[i - 1] + (i - 1) / 2 - i / 3 + (i % 3 != 0 ? 0 : 1);
			if ((i & 1) == 0)
				f[i] -= i / 4;
			if (f[i] >= m)
				f[i] -= m;
			if (f[i] < 0)
				f[i] += m;
		}
		for (int i = 3; i <= N; i++) {
			p2[i] = p2[i - 1] << 1;
			if (p2[i] >= m)
				p2[i] -= m;
			for (int j = i + i; j <= N; j += i) {
				f[j] -= f[i];
				if (f[j] < 0)
					f[j] += m;
			}
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		init();
		while (cin.hasNext()) {
			n = cin.nextInt();
			long ans = 0;
			for (int i = 1; i * i <= n; i++)
				if (n % i == 0) {
					ans = (ans + (long) f[i] * p2[n / i]) % m;
					if (i * i != n)
						ans = (ans + (long) f[n / i] * p2[i]) % m;
				}
			System.out.println("Case " + ++C + ": " + (ans + m) % m);
		}
	}

}

题目意思：

给定一个长度为n的铁丝，将其分成有顺序的若干份，每份折成三角形，要求所有的三角形相似。

三角形顺序不同视为不同方案，三边相等视为同一方案。求方案个数。

 

首先定义f(x)表示周长为x的三角形个数。

我们用(a,b,c)表示一个三角形，其中a <= b <= c 

将f(x)的所有三角形分为两部分，b=c 和 b!=c 的

b = c 的三角形个数

a至少为1，c的最大值为floor((x-1)/2)

a<=b<=c，所所以c的最小值为ceil(x/3)

个数为floor((x-1)/2) - ceil(x/3) + 1。注意x比较小的时候，可能最大值比最小值小，此时差为-1，加1后为0，不影响结果。

化简后就是程序中的(i-1)/2 - i/3 + (i%3?0:1)

b!=c 的三角形个数

由于b!=c，则b<c，则b<=c - 1

且a + b > c > c - 1

所以，(a,b,c-1)也一定是三角形。

所以这部分的方案数等于 f(x-1) 减去 f(x-1)中满足a + b = c + 1的三角形

含有a+b=c+1的三角形的x一定为奇数：

此时c = (x-1)/2

方案数floor((x - (x-1)/2)/2)

化简后就是程序中的(x+1)/4

然后定义g(x)为周长为x的本质三角形个数（官方现场题解给出的概念，就是三边最大公约数为1的三角形）

则g(x) = f(x) - sigma(g(k)) ，其中k为小于x的所有x的约数，这个是可以nlogn全部预处理出来