状态证明[置顶] 编程之美 NIM游戏与NIM扩展游戏的讨论及解

每日一贴,今天的内容关键字为状态证明

    编程之美下面有个NIM的游戏，规矩如下：

    有n堆石头，两个人轮番从中取，一次只能在一堆中取，最少取一个，最多把这一堆取完，获得最后一个石头的人成功，问谁有必胜策略。

    解：

         设这n堆石头的个数分别是X1,X2……Xn，设F(X)= X1 ^X2 ^ X3……^Xn。如果F(X)= 0则后取的获胜，否则，先取的获胜。

    证明:

         如果这剩下的石头的个数的的异或值为0，则无论从一堆中取多少个，取完之后剩下的异或值必定不是0，反之，如果异或值不为0，那么必定可以从一堆中取一些，从而使取完之后的异或值为0.

    但是，有一个似乎更难的题目，就是有n堆石头，两个人轮番从中取，一次只能在一堆中取，最少取一个，最多把这一堆取完，获得最后一个石头的人输，问谁有必胜策略。

    这个题目的结果与下面完全相同。

    证明如下：

         显然，如果某一个人取之前面临的状态是k,1,1,1,1…1，也就是除了一堆不是1，其它的都是1，则这个人必定会成功，因为这个人可以保证取完之后每一堆剩下的数目都是1，并且还有奇数个，然后这个人必定成功。

    每日一道理
因为自信，在呀呀学语时，我靠着纤嫩的双腿，迈出人生的第一步；因为自信，我一次次将第一名的奖状高高举起；因为自信，我毫不吝惜地剪掉飘逸的长发，在运动场上展现风采……感谢自信，它给了我一双翅膀，让我在电闪雷鸣中去飞翔，在风雨中去搏击人生！

         在游戏开始的时候，如果F(x)=0，则说明第一个人取完之后，F(x)!=0，所以，说明第一个人取完之后游戏的状态不可能全部是1，这样，在第二个人思考的时候，如果此时他面临的状态是k,1,1,…1，则它必定成功，否则他就从一堆中取，从而使取完之后F(x)=0，这样始终下去，也就是说，最后涌现的k,1,1,1…1 必定是第二个人首先看到，这样他必定成功。

         反之，如果F(x)!= 0，则如果第一个人面临的状态是k,1,1,1…1，则他必定成功，否则，他可以保证自己取之后使F(x)=0，显然，F(x)=0的时候必定不可能是k,1,1,1…1的状态，也就是说，状态k,1,1,1..1这类状态永远不是第二个人会碰到的，于是，总会到必定时候，第一个人在自己取的时候面临着k,1,1,1..1的状态。当然，如果第一个人取的时候不是k,1,1,1..1的状态，他就应该使自己取完之后F(x)=0。

         证明终了

    

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文章结束给大家分享下程序员的一些笑话语录： 爱情观
　　爱情就是死循环，一旦执行就陷进去了。
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