题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370
题意:给出一个n×n的矩阵,求一个符合题意的n×n的只含有0和1的矩阵,使得两个矩阵位置对应的元素相乘后和最小。
题意要求01矩阵:
1. X12+X13+...+X1n=1
2.X14+X24+...+X(n-1)n=1
3.∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).(1<i<n)
思路:将Xij看作点i到点j的路的花费,所以可以转换成一个图来作。而条件可以认为是
1.点1出度为1,即一定有一条从点1出发的路。
2.点n入度为1,即一定有一条到点n的路。
3.其他点的出度入度相等。即一定有1到n的路或者有1自环和n自环。为什么?
而求得的01矩阵乘以原矩阵,可以看作1为走这条路,0为不走。
因为点1的出度为1(条件一),那么一定要到另一个点,如果是到点n即求一条最短路。否则到其他点,而其他点出入度要相同(条件三),这时需要这个点一定有出去的边,到n就有最短路,到1就有1自环,到其他点(最终都是要到1,n的)。而点n一定要有入度(条件二)则情况一样的,一定有1到n的路或则有n的自环。
所以需要计算1到n的最短路,1自环和n自环的总值,两者最小就为答案,即计算一遍起点为1的d1[n],d1[1],再计算一遍起点为n的d2[n],ans=min(d1[n],d2[1]+d2[n]);
值得注意的是这里的最短路写法(spfa)有点不一样,因为要算起点自环的花费,所以初始化d[strat]=inf,不能为d[strat]=0,这样第一遍更新找其他点到起点的距离d就更新不了。那么可以这样:自己更新第一次,手动将所有的点都加入队列即可。
代码:
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #define inf 0x3f3f3f3f using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=310; int map[maxn][maxn],d[maxn],visit[maxn]; int n; void spfa(int u){ queue<int> q; memset(visit,0,sizeof(visit)); for(int i=1;i<=n;i++){//初始化 if(i==u) d[i]=inf; else{ d[i]=map[u][i]; q.push(i);//手动更新第一次找最短路 visit[i]=1; } } while(!q.empty()){ int t=q.front(); q.pop(); visit[t]=0; for(int i=1;i<=n;i++){ if(d[i]>d[t]+map[t][i]){ d[i]=d[t]+map[t][i]; if(!visit[i]){ visit[i]=1; q.push(i); } } } } } int main(){ while(scanf("%d",&n)!=EOF){ for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&map[i][j]); } spfa(1); int ans=d[n];//1到n的最短 int d1=d[1];//1自环 spfa(n); int d2=d[n];//n自环 printf("%d ",min(ans,d1+d2)); } return 0; }