因子和与因子个数

摘抄于《ACM-ICPC 程序设计系列数论及应用》

基本理论

　　定义1：因子和函数σ定义为整数n的所有正因子之和，记为σ（n）.

       定义2：因子个数函数τ定义为正整数n的所有正因子个数，记为τ（n）.

定理 

　　定理1：如果f是积性函数F(n),那么f的和函数F(n)=Σ(d|n)  f(d) 也是积性函数

推论：因子和函数σ与因子个数函数τ是积性函数（只要令 f(n）=n  和f(n)=1即可）

　　定理2：设p是一个素数,a是一个正整数,那么

　　　　　　σ（p^a）=1+p+p²+p³+..+p^a= (p^a+1-1)/(p-1)  （等比数列求和公式可得）

                    τ（p^a）=a+1;      (p^a的因子为 1 ,p,p²,p³,...p^a)

　　定理3：设正整数n有素因子分解n=p₁^a₁*p₂^a₂*.....p_s^a_s （唯一分解定理）

　　σ（n）= (p₁^a₁+1-1)/(p₁-1) * (p₂^a₂+1-1)/(p₂-1) *(p_s^a_s+1-1)/(p_s-1)  = Π( j=1,s)  (p_j^a_j+1-1)/(p_j-1) （由定理2得）

　　τ（n）=（a₁+1）*(a₂+1)*...*(a_s+1)= Π( j=1,s) (a_j+1)

代码实现：

　　因为求因子和函数与因子个数函数同求欧拉函数值一样，都需要素因子分解。代码写法写法大致一样。

求因子和：

int sum(int n)
{
    int s=1;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            int a=1;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
                a*=i;
            }
            s=s*(a*i-1)/(i-1);
        }
    }
    if(n>1)
        s=s*(1+n);
    return s;
}

求因子个数：

ll count(ll n)
{
    ll s=1;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ll num=0;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
                num++;
            }
            s=s*(num+1);
        }
    }
    if(n>1)
        s=s*2;
    return s;
}

实战：

　　poj 2992(因子个数):求出C(k,n）因子个数  （0<=k<=n<=431）

　　思路：

　　如果直接求组合数是不可能的因为，其太大了。

　　要求因数个数，以上可知，要先求素因子，所以要素因子分解，组合数可以写成阶乘的形式，那可以阶乘素因子分解，求阶乘对于每个素因子可分解的个数。

　　步骤：

　　1.先筛出431内的素数。

      2.对每个阶乘进行素因子分解

      3.根据上面的定理求因子个数

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
bool isprime[450];
int nprime;
int prime[100];

void init()//筛出431内所有的素数 
{
    nprime=0;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[0]=isprime[1]=0;
    for(int i=2;i<450;i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            nprime++;
            prime[nprime]=i;
            for(int j=2*i;j<450;j+=i)
                isprime[j]=0;
        }
            
    }
}

int main()
{
    init();
    int jie[450][100];//jie[i][j]表示i阶乘分解成第j个素数有几个
    memset(jie,0,sizeof(jie));
    for(int i=1;i<=nprime;i++)
    {
        for(int j=2;j<450;j++)//求出每个阶乘对于每个素数的个数 
            jie[j][i]=j/prime[i]+jie[j/prime[i]][i];
    }
    
    ll c[450][450];
    for(int i=2;i<450;i++) 
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            c[i][j]=1;
            for(int k=1;k<=nprime&&jie[i][k];k++)
            {
                int s=jie[i][k]-jie[j][k]-jie[i-j][k];//C(i,j)= i!/(j!*(i-j)!) 
                if(s)
                    c[i][j]*=(s+1);//求因子个数 
            }
        }
    } 
    
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        if(!k||k==n)    
            printf("1
");
        else
            printf("%lld
",c[n][k]);
    }
    return 0;
} 

　　poj 1845(求因子和)：求 A^B%9901，（0<=A,B<=50000000）

思路：

对于A素因子分解为A=p₁^k₁*p₂^k₂*...*p_m^k_m,那么A^B=p₁^k₁B*p₂^k₂B*...*p_m^k_mB

因为积性函数的性质，S=(1+p₁+p₁²+...+p₁^k₁B) * (1+p₂+p₂²+..+p₂^k₂B)*...*(1+p_m+p_m²+..+p_m^k_mB)

由等比数列求和得：S=(p₁^k₁B+1-1)/(p₁-1) * （p₂^k₂B+1-1）/(p₂-1) *...* (p_m^k_mB+1-1)/(p_m-1)

 

依然要素因子分解，这里用二维数组su[][]用于存素因子和其个数，su[i][0]表示第i个素因子为多少，su[i][1]表示其个数。

再根据推导公式求即可，但是除数（p-1）是不能取模的，要变成乘以逆元，因为9901是素数,直接用费马小定理即可

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

ll mul(ll x,ll y)//快速幂 
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=(ans*x)%9901;
        x=(x*x)%9901;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll a,b;
    ll su[101][2];
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF)
    {
        if(a==0)
            printf("0
");
        else if(a==1||b==0)
            printf("1
");
        else
        {
            ll p=0;
            for(int i=2;i*i<=a;i++)//素因子分解，求个数 
            {
                if(a%i==0)
                {
                    su[p][0]=i;
                    su[p][1]=0;
                    while(a%i==0)
                    {
                        a/=i;
                        su[p][1]++;
                    }
                    p++;
                }
            }
            if(a>1)
            {
                su[p][0]=a;
                su[p][1]=1;
                p++;
            }
            for(int i=0;i<p;i++)//记得素因子个数是 k*B+1 
            {
                su[i][1]*=b;
                su[i][1]++; 
            }
            ll m=1;
            ll x,y;
            for(int i=0;i<p;i++)
            {
                if(su[i][0]%9901==0)    continue;
                if(su[i][0]%9901==1)
                {
                    m=m*su[i][1]%9901;
                    continue;
                }
                m=m*(mul(su[i][0],su[i][1])-1)%9901;//p^(k*B+1)-1 
                x=mul(su[i][0]-1,9899)%9901;//费马小定理,求(p-1)的逆元 
                x=(x%9901+9901)%9901;//一项素因子的值 
                m=m*x%9901;
            }
            printf("%lld
",m);
        }
    }
    return 0;
}