AVL树

一、AVL树

　　AVL树是一棵自平衡的二叉搜索树。

1、平衡因子

　　

　　balance factor(平衡因子)记录了左右子树的高度差。上图定义的是有左子树没有右子树差值是1，没有左子树有右子树差值是-1.

2、AVL树具有以下性质

• 根的左右子树的高度之差的绝对值不能超过1
• 根的左右子树都是平衡二叉树（任何一个节点的左右子树高度差都不能超过1）

二、AVL树插入和旋转

　　插入一个节点可能会破坏AVL树的平衡，可以通过旋转操作来进行修正。

　　插入一个节点后，只有从插入节点到根节点的路径上的节点的平衡可能被改变。

　　我们需要找出第一个破坏了平衡条件的节点，称之为K。K的两颗子树的高度差为2。

1、不平衡的出现有4种情况

（1）不平衡是由于对K的右孩子的右子树插入导致的

　　操作方法：左旋

　　

（2）不平衡是由于对K的左孩子的左子树插入导致的

　　操作方法：右旋

　　

（3）不平衡是由于对K的右孩子的左子树插入导致的

　　操作方法：右旋——左旋

　　

（4）不平衡是由于对K的左孩子的右子树插入导致的

　　操作方法：左旋——右旋

　　

2、旋转代码实现

from .bst import BiTreeNode, BST
class AVLNode(BiTreeNode):
    def __init__(self, data):
        BiTreeNode.__init__(self, data)
        self.bf = 0   # 平衡因子，bf=-1:左边树比右边高；bf=1:右边树比左边高

class AVLTree(BST):
    def __init__(self, li=None):
        BST.__init__(self, li)

    def insert_no_rec(self, val):
        """重写插入方法"""

    def rotate_left(self, p, c):  # 根节点及其右孩子
        """对K的右孩子的右子树插入导致——左旋"""
        s2 = c.lchild
        p.rchild = s2
        if s2:   # 如果s2不为空
            s2.parent = p
        # C与P链接起来
        c.lchild = p
        p.parent = c

        # 更新平衡因子
        p.bf = 0
        c.bf = 0
        return c   # 根节点

    def rotate_right(self, p, c):
        """对K的左孩子的左子树插入导致——右旋"""
        s2 = c.rchild
        p.lchild = s2
        if s2:
            s2.parent = p
        # C与P链接起来
        c.rchild = p
        p.parent = c

        # 更新平衡因子
        p.bf = 0
        c.bf = 0
        return c

    def rotate_right_left(self, p, c):
        """由于对K的右孩子的左子树插入导致——右旋左旋"""
        g = c.lchild  # g节点是c的左孩子

        # 右旋
        s3 = g.rchild
        c.lchild = s3  # c的左孩子绑定s3
        if s3:  # 如果s3存在
            s3.parent = c   # s3的父节点指向c（反链回去）
        # G与C链接起来
        g.rchild = c
        c.parent = g

        # 左旋
        s2 = g.lchild
        p.rchild = s2     # s2绑定给p的右孩子
        if s2:   # 如果s2存在
            s2.parent = p
        # G与P链接起来
        g.lchild = p
        p.parent = g

        # 更新平衡因子
        if g.bf > 0:   # 插入的是s3，原G的右孩子
            p.bf = -1   # p节点右边是空的
            c.bf = 0
        elif g.bf < 0:  # 插入的是s2，原G的左孩子
            p.bf = 0
            c.bf = 1    # c节点左边是空的
        else:  # 插入的是G
            p.bf = 0
            c.bf = 0

    def rotate_left_right(self, p, c):
        """由于对K的左孩子的右子树插入导致——左旋右旋"""
        g = c.rchild  # g节点是c的右孩子

        # 左旋
        s2 = g.lchild
        c.rchild = s2  # c的右孩子绑定s2
        if s2:  # 如果s3存在
            s2.parent = c  # s2的父节点指向c（反链回去）
        # G与C链接起来
        g.lchild = c
        c.parent = g

        # 右旋
        s3 = g.rchild
        p.lchild = s3  # s3绑定给p的左孩子
        if s3:  # 如果s3存在
            s3.parent = p
        # G与P链接起来
        g.rchild = p
        p.parent = g

        # 更新平衡因子
        if g.bf < 0:   # 插入的是s2,原G的左孩子
            p.bf = 1
            c.bf = 0
        elif g.bf > 0:  # 插入的是s3，原G的右孩子
            p.bf = 0
            c.bf = -1
        else:   # 插入的是G
            p.bf = 0
            c.bf = 0

3、根据AVL旋转实现AVL插入

from bst import BiTreeNode, BST


class AVLNode(BiTreeNode):
    def __init__(self, data):
        BiTreeNode.__init__(self, data)
        self.bf = 0   # 平衡因子，bf=-1:左边树比右边高；bf=1:右边树比左边高


class AVLTree(BST):
    def __init__(self, li=None):
        BST.__init__(self, li)

    def rotate_left(self, p, c):  # 根节点及其右孩子
        """代码省略"""

    def rotate_right(self, p, c):
        """代码省略"""

    def rotate_right_left(self, p, c):
        """代码省略"""

    def rotate_left_right(self, p, c):
        """代码省略"""

    def insert_no_rec(self, val):
        """重写BST插入方法"""
        # 1.第一步和BST一样做插入
        p = self.root
        if not p:  # 空树的情况处理
            self.root = AVLNode(val)
            return
        while True:
            if val < p.data:  # 添加值小于当前节点，往左边走
                if p.lchild:  # 如果左孩子存在
                    p = p.lchild
                else:  # 左子树不存在
                    p.lchild = AVLNode(val)
                    p.lchild.parent = p
                    node = p.lchild    # node保存插入的节点
                    break
            elif val > p.data:  # 大于根节点往右边走
                if p.rchild:  # 如果右孩子存在
                    p = p.rchild
                else:  # 右子树不存在
                    p.rchild = AVLNode(val)
                    p.rchild.parent = p
                    node = p.rchild  # node保存插入的节点
                    break
            else:   # 有一个一样值的节点，什么都不做
                return

        # 2.第二步更新平衡因子
        while node.parent:  # 如果node的父亲不是空
            if node.parent.lchild == node:   # 传递是从左子树来的，左子树更沉了
                # 更新node.parent的平衡因子 -= 1
                if node.parent.bf < 0:   # 原来node.parent.bf==-1,更新后变为-2
                    # 做旋转
                    # 看node哪边沉
                    g = node.parent.parent   # 用于连接旋转之后的子树
                    x = node.parent  # 旋转前子树的根
                    if node.bf > 0:   # node右边沉——》左右
                        n = self.rotate_left_right(node.parent, node)
                    else:          # node左边沉——》左左
                        n = self.rotate_right(node.parent, node)
                    # 注意要将n和g连起来
                elif node.parent.bf > 0:   # 原来node.parent.bf==1,更新后变为0
                    node.parent.bf = 0
                    break
                else:             # 原来node.parent.bf == 0,更新后变为-1
                    node.parent.bf = -1
                    node = node.parent   # 往上走一层继续循环
                    continue
            else:      # 传递是从右子树来的，右子树更沉了
                # 更新node.parent.bf += 1
                if node.parent.bf > 0:   # 原来node.parent.bf==1,更新后变为2
                    # 做旋转
                    # 看node哪边沉
                    g = node.parent.parent    # 用于连接旋转之后的子树
                    x = node.parent  # 旋转前子树的根
                    if node.bf < 0:   # node左边沉——》右左
                        n = self.rotate_right_left(node.parent, node)
                    else:     # node右边沉——》右右
                        n = self.rotate_left(node.parent, node)
                        # 这里不考虑等于0的情况，因为传递上来了，肯定是因为它的bf不为0
                    # 记得连起来
                elif node.parent.bf < 0:  # 原来node.parent.bf==-1,更新后变为0
                    node.parent.bf = 0
                    break       # 因为是0，就不需要传递了
                else:           # 原来node.parent.bf == 0,更新后变为1
                    node.parent.bf = 1
                    node = node.parent   # 往上走一层继续循环
                    continue

            # 链接旋转后的子树
            n.parent = g
            if g:  # 如果g不是空
                if x == g.lchild:   # 如果旋转之前子树的根（x）是g的左孩子
                    g.lchild = n
                else:
                    g.rchild = n
                break
            else:  # 为空说明是根节点
                self.root = n
                break


tree = AVLTree([9,8,7,6,5,4,3,2,1])

tree.pre_order(tree.root)
print("")
tree.in_order(tree.root)
"""
6,4,2,1,3,5,8,7,9,
1,2,3,4,5,6,7,8,9,
"""