前面我们提到Cauchy积分公式和定理都要求函数$f(z)in C^1(overline{Omega})$,事实上这个条件可以减弱,而这个要归功于Goursat.我们有
Cauchy-Goursat积分公式:设$Omegasubsetmathbb C$为有界区域,且$partialOmega$为可求长的简单闭曲线,若$f(z)$在$omega$上全纯且在$overline{Omega}$上连续,则
egin{align*}f(z)=frac{1}{2pi i}int_{partialOmega}frac{f(zeta)}{zeta-z}{ m d}zetaend{align*}
类似的有Cauchy-Goursat积分定理：若$Omegasubsetmathbb C$为有界区域,且边界$partialOmega$为可求长的简单闭曲线,若$f(z)$在$Omega$内全纯,在$overline{Omega}$上连续,则
[int_{partialOmega}f(zeta){ m d}zeta=0]
二者之等价性据上一节是显然的.因此只需证明其一即可.而这是1900年Goursat第一次给出的,Goursat证明Cauchy-Goursat定理的大致思路是这样的.
1)$f(z)$沿$Omega$内任一分段光滑的曲线$Gamma$的积分都可以用$f(z)$在$Omega$内的折线序列$gamma_{n}$上的积分来逼近,换言之:对任意的$varepsilon>0$,都存在$gammasubsetOmega$使得
[left|int_{Gamma}f(z){ m d}z-int_{gamma}f(z){ m d}z ight|<varepsilon]
2)说明在单连通区域$D$上的全纯函数$f(z)$,沿$D$内任一闭折线$gamma$都有
[int_{gamma}f(z){ m d}z=0]
由于闭折线可添加若干对角线使得其分成若干个三角形，并且添加的线段上的积分是相互抵消的,因此可需考虑折线$gamma$是三角形的情况即可.
3)至此不难得出定理的证明.
事实上次定理对于多连通区域同样适用,由于多连通区域可由若干曲线分割成若干单连通区域，并且在这些曲线上的积分值是相互抵消的.根据Cauchy-Goursat定理可以得出所谓的复变函数的不定积分:如果$f(z)$在$Omega$内全纯,定义
[F(z)=int_{z_{0}}^{z}f(zeta){ m d}zeta,z_{0},zinOmega]
显然$F(z)$也在$Omega$内全纯并且
[F'(z)=f(z)]
我们还可以得到全纯函数的一个重要的性质,即如果$f(z)$在$B(z_{0},r)$内全纯,在$overline{B}(z_{0},r)$上连续,则
[f(z_{0})=frac{1}{2pi}int_{0}^{2pi}f(z_{0}+re^{i heta}){ m d} heta]
也就是说$f(z)$在圆周上的均值等于圆心的函数值.
这个性质类似于调和函数,因为我们知道(以二元为例)如果二元实函数$u(x,y)$满足
[Delta u=0]
则
[u(x,y)=frac{1}{2pi r}int_{C_{r}}u(xi,eta){ m d}s]
其中$C_{r}$表示以$(x,y)$为圆心$r$为半径的圆周.
而我们知道一个函数全纯,那么气实部和虚部均是调和的,这样再来看这个性质就很显然了.