复习7中最后我们得到了全纯函数各阶导数的一个估计,但是这个估计是比较粗糙的,而且还仅仅是在一点处的估计，事实上利用Pompeiu公式我们还可以得到一个更深刻的结果，我们需要先来证明一个引理，即所谓的单位分解定理.
在复平面$mathbb C$上,定义标准函数
[ heta(z)=left{egin{array}{cc} kexpleft(-frac{1}{1-|z|^2} ight)&|z|<1\0&|z|geq1end{array} ight.]
其中
[k=frac{1}{int_{|z|leq1} heta(z){ m d}A}]
为常数.那么容易证明$ heta(z)in C_{0}^{infty}(mathbb C)$,(注：$C_{0}^{k}(Omega)$表示支集在$Omega$内紧的全体$C^k(overline{Omega})$函数所组成的集合)且
[{ m supp} heta(z)={zinmathbb C:|z|leq1}]
其中${ m supp} heta(z)$称作$ heta(z)$的支集,表示
[{ m supp} heta(z) riangleqoverline{{zinmathbb C| heta(z) eq0}}]
由$ heta(z)$出发我们可以定义很多$C_{0}^{infty}(mathbb C)$的函数,例如我们定义
[ heta_{delta}(z)=frac{1}{delta^2} hetaleft(frac{z}{delta} ight),delta>0]
那么$ heta(z)$与$ heta_{delta}(z)$性质类似且
[{ m supp} heta_{delta}(z)={zinmathbb C:|z|leqdelta}.]
引理：设$Omegasubsetmathbb C$为开集,$mathscr B$为$Omega$的一组开集基,则在$mathbb B$中存在一个序列${U_{n}}_{ninmathbb N^*}$使得
1)$Omega=igcup_{ninmathbb N^*}U_{n}$;
2)对$Omega$中任一紧集$K$,他仅与${U_{n}}$中有限个相交.
证 取一相对于$Omega$的紧集序列${K_{n}}_{ninmathbb N^*}$且$igcuplimits_{nin mathbb N^*}K_{n}=Omega$,同时
[K_{i}subset{ m int}K_{i+1}]
令[W_{i}={ m int} K_{i+1}setminus K_{i-2},V_{i}=K_{i}setminus{ m int}K_{i-1}]
那么$W_{i}$开,$V_{i}$紧且
[V_{i}subset W_{i},Omega=igcup_{iinmathbb N^*}V_{i}]
对任意一点$zin V_{i}$,存在某一邻域$B(z,r)inmathscr B$使得
[zin B(z,r)subset W_{i}]
注意到$V_{i}$紧,因此在$V_{i}$中仅有有限个点$z_{i1},z_{i2},cdots,z_{is_{i}}$使得
[V_{i}subset igcup_{1leq jleq s_{i}}B(z_{ij},r)subset W_{i}]
当$i$遍历$mathbb N^*$时,显然
[igcup_{iinmathbb N^*}igcup_{1leq jleq s_{i}}B(z_{ij},r)=Omega]
并且上式左端的各个邻域所组成的序列${B_{z_{nj},r}}$也满足第二个条件.(因为$Omega$中任一紧集$K$之多与有限个$W_{i}$相交)
并且我们把满足1)的${U_{n}}$称作$Omega$的开覆盖,性质2)表明开覆盖是局部有限的.
到这里我们便可以得到单位分解定理：设$Omegasubsetmathbb C$是开集,${U_{i}}_{iin I}$为$Omega$的一个开覆盖,其中$I$为指标集.那么在$mathscr D(Omega)$中存在序列${f_{n}(z)}_{ninmathbb N^*}$使得
1)对任意的$jin I$,都存在$i_{j}inmathbb N^*$使得
[{ m supp}f_{j}subset U_{i_{j}}]
且支集集合${{ m supp}f_{i}(z)}$是局部有限的；
2)对任意的$n$有$0leq f_{n}(z)leq1$；
3)对任意的$zinOmega$,有
[sum_{ninmathbb N^*}f_{n}(z)=1]
我们称满足上面3条性质的序列${f_{n}}$叫做开覆盖${U_{n}}$的单位分解.
证 对每一个$zinOmega$,都存在$r_{z}>0$使得
[overline{B}(z,r_{z})subset U_{i_{z}}]
其中$i_{z}in I$.那么当$z$遍历$Omega$时,${B(z,r)}(zinOmega,0<r<r_{z})$构成了$Omega$的开集基,因此存在序列${B(z_{n},r_{n})}_{ninmathbb N^*}$满足前面的引理的1),2),且
[B(z_{n},r_{n})subset U_{i_{n}} riangleq U_{i_{z_{n}}}]
令$eta_{n}(z)= heta_{r_{n}}(z-z_{n})$,则$eta_{n}inmathscr D(Omega)$,且
[{ m supp}eta_{n}(z)={z:|z-z_{n}|leq r_{n}}]
据引理的条件2可知${{ m supp}eta_{n}}_{ninmathbb N^*}$局部有限.另一方面
[sum_{ninmathbb N^*}eta_{n}(z)=s(z)in C^{infty}(Omega)]
且在$Omega$上$s(z)>0$.再令
[f_{n}(z)=frac{eta_{n}(z)}{s(z)}]
即得满足1,2,3要求的序列.
这样便完成了单位分解定理的证明.