学过线性代数我们都知道，对于矩阵，很容易理解，它就是一个数表！但是对于行列式，就是一个数！我们自然会问，这个数到底是个什么呢？为什么它就这么定义计算式呢？
线性代数中,我们知道给定的$n$阶方阵$A=(a_{ij})_{n imes n}$,其行列式的计算公式就定义为
[det A=sum_{sigmain S_{n}} au_{sigma}prod_{i=1}^na_{isigma(i)} ag{*}]
其中$ au_{sigma}$是置换$sigma$的符号,定义为
[ au_{sigma}=(-1)^k]
其中$k$为置换$sigma$分解为不想交对换的分解式中对换的个数.
那么(*)这个公式到底是怎么来的呢？
我们先来看一个几何问题,三维空间中给定一个平行六面体
egin{align*}A_3：(alpha_{1},alpha_{2},alpha_{3}) ag{1}end{align*}
其中$alpha_{i}inmathbb R^3$是以$A_3$某一顶点为起点的三条棱所对应的向量.我们显然有$A_{3}$中的点都形如
[x_{1}alpha_{1}+alpha_{2}A_{2}+x_{3}alpha_{3},0leq x_{i}leq1]
所以说我们用(1)中的矩阵来定义或表示一个平行六面体是合理的.由空间解析几何的知识我们知道
[V_{A_{3}}=|(alpha_{1} imes alpha_{2})cdot alpha_{3}| ag{2}]
即为三向量$alpha_{1},alpha_{2},alpha_{3}$之混合积的绝对值,计算公式即为
[det(alpha_{1},alpha_{2},alpha_{3})]
(这里一、二、三阶行列式的定义我们可以事先给出)事实上对于二维的平行六面体$A_{2}$,即平面中的平行四边形,我们也有类似的结论
[V_{A_{2}}=|det(alpha_{1},alpha_{2})| ag{3}]
这里的$alpha_{i}$指$A_2$的具有同一起点的两条临边对应的向量.为了去掉(2),(3)中的绝对值,我们只要引入“有向体积”的概念，即允许体积取负值即可(这有点类似于多元微积分中我们为了消除${ m d}xwedge{ m d}y$与${ m d}ywedge{ m d}x$的区别，引入了可定向曲面的概念).当然我们可以事先约定一个正方向,比如在三维空间中我们可以约定如果有序向量组$alpha_{1},alpha_{2},alpha_{3}$和$mathbb R^3$中的有序基向量组$overrightarrow i ,overrightarrow j,overrightarrow k $的定向一致,则相应的体积取正,否则取负.这样我们便得到了二维、三维(一维即为线段，这显然也是满足的)平行六面体(有向)体积统一的计算公式了
[V_{A}=det mathbb A]
这里矩阵$mathbb A$的定义前文已经提及.这样的话对于一般的$n$阶行列式
[det A_{n}=det(alpha_{1},cdots,alpha_{n})]
我们很自然的将其定义为由向量$alpha_{i}in mathbb R^n$所对应的$n$维平行六面体的(有向)体积,更一般的我们可以将行列式$det$看做函数
egin{align*}det:M_{n}(mathbb F)& omathbb F\A_{n}mapsto&det A_{n}end{align*}
我们来看这个函数应当满足什么条件，也就是体积所具有的的性质，这里我们不加证明的给出
1)[det(alpha_{1},cdots,aalpha_{i}+beta,alpha_{i+1},cdots,alpha_{n})=adet(alpha_{1},cdots,alpha_{i},cdots,alpha_{n})+bdet(alpha_{1},cdots,eta,cdots,alpha_{n})]
换句话说函数$det$在每个分量上都是线性的(这一点根据对应的平行六面体的构造方式来看是显然的),我们也把满足这种性质的函数叫做多重线性函数.
2)[det(alpha_{1},cdots,alpha_{i},cdots,alpha_{j},cdots,alpha_{n})=-det(alpha_{1},cdots,alpha_{j},cdots,alpha_{i},cdots,alpha_{n})]
也就是说交换函数$det$某两个分量的位置,函数值是变号的(这一点根据有向体积的概念来看也是显然的),我们也把这样的函数称作反对称的.
3)$det E=1$,这是由于单位阵$E=(e_{1},cdots,e_{n})$,$e_{i}$为$n$维向量空间的标准正交基.
接下来我们就是要着手于证明满足(1),(2),(3)的函数$det$必然具有"*"的计算公式.首先这样的函数存在是显然的,“*”式恰好给出了其一种存在性.
根据性质2)可知如果$A$中存在某两列相同,那么$det A=0$,姑且把他记做性质(4).注意到
egin{align*}det A=det(EA)&=det(e_{1},cdots,e_{n})left(egin{array}{ccc}a_{11}&cdots&a_{1n}\vdots&ddots&vdots\a_{n1}&cdots&a_{nn}end{array} ight)\&=detleft(sum_{i=1}^{n}a_{i1}e_{i},cdots,sum_{i=1}^{n}a_{in}e_{i} ight)\&=a_{11}detleft(e_{1},sum_{i=1}^{n}a_{i2}e_{i},cdots,sum_{i=1}^{n}a_{in}e_{i} ight)\&~~~+a_{21}left(e_{2},sum_{i=1}^{n}a_{i2}e_{i},cdots,sum_{i=1}^{n}a_{in}e_{i} ight)+cdots\&=a_{11}a_{22}detleft(e_{1},e_{2},sum_{i=1}^{n}a_{i3}e_{i},cdots,sum_{i=1}^{n}a_{in}e_{i} ight)+cdots\&=sum_{sigmain S_{n}}a_{1sigma(1)}cdots a_{nsigma(n)}detleft(e_{sigma(1)},cdots,e_{sigma(n)} ight)\&=sum_{sigmain S_{n}} au_{sigma}prod_{i=1}^{n}a_{isigma(i)}det E\&=sum_{sigmain S_{n}} au_{sigma}prod_{i=1}^{n}a_{isigma(i)}end{align*}
(推导过程中某些细节已经舍去，这些细节都是性质(1),(2),(4)的使用)这样便证明了*式之所以是行列式的原因了.
注记：由推导过程我们不难看出,如果某一个函数$varphi: M_{n}(mathbb F) omathbb F$且满足性质(1),(2),即$varphi$同时为矩阵列的多重线性函数和反对称函数,那么必有
[varphi(A)=varphi(E)cdotdet A]
此外行列式的公理化构造方式还有很多，这里只是举出其中一种相对比较直观的方式。