问题:证明
[sum_{k=1}^{n}frac{1}{k} otinmathbb N,forall ngeq2.]
证明 首先根据Chebyshev定理,在$(frac{n}{2},n]$上必存在素数$p$,那么显然$pmid n!$且
[pmidfrac{n!}{k},k=1,2,cdots,p-1,p+1,cdots,n]
但是$p midfrac{n!}{p}$.而若要$sum_{k=1}^{n}frac{1}{k}$为整数,即
[frac{1}{n!}sum_{k=2}^{n}frac{n!}{k}]
为整数,即$n!midsum_{k=2}^{n}frac{n!}{k}$,那么
[pmidsum_{k=2}^{n}frac{n!}{k}]
显然这时不可能的!