习题：
4.证明指数为$2$的子群必正规.
证明 设$G$为群且$H<G$且$[G:H]=2$,那么有左陪集分解
$$G=Hcup aH,a otin H$$
同样的一定有右陪集分解
$$G=Hcup Ha$$
显然$aH=Ha$.由等价类的代表元之任意性便知$Hlhd G$.
5.设$G$是群,$Hlhd G,Klhd G$且$Hcap K={e}$,证明
$$hk=kh,forall hin H,kin k$$
证明 又正规子群可知
egin{align*}hk&=k_{1}h=kh_{1}\Rightarrow k^{-1}k_{1}&=h_{1}h^{-1}in Hcap Kend{align*}
易得$k_{1}=k,h_{1}=h$,即$hk=kh$.
6.证明任一群都不能表示成其两个真子群之并.
证明 设群$G=Acup B$,其中$A,B$均为$G$的真子群.从而存在$gin A,g otin B$以及$h otin A,hin B$,那么我们考虑$gh$.显然$gh$既不在$A$中,也不在$B$中,从而$gh otin G$,与$G$是群矛盾!
8.若群$G$只有一个阶为$n$的子群$H$,那么$Hlhd G$.
证明 $forall gin G$,考察$g^{-1}Hg$,不难验证其仍构成群,且
$$left|g^{-1}Hg ight|=|H|$$
由$H$的唯一性便知$g^{-1}Hg=H$,从而$H$正规.
补充题：
1.设$H$是整数加群$mathbb Z$的子群,证明必有$minmathbb Z$使得$H=mmathbb Z$ .
证明 由于$mathbb Z=<1>$为循环群,从而其任一子群$H$也必为循环群,因此存在$minmathbb Z$使得
$$H=<m>=mmathbb Z$$
由于循环群是后面的内容，此处也可用另一方法：若$H={0}$,那么结论显然；若$H eq{0}$,则考虑集合
$$S={|t|:tin H,t eq0}$$
根据最下自然数原理可知集合$S$有最小值$m$,我们说$H=mmathbb Z$,否则必然存在某个$nin H$且$n>m>0$,但是$m mid n$,那么做带余除法
$$n=mq+r,0<r<m$$
由于$H$是群,那么$rin H$,与$m$的极小性矛盾!
2.设$H,K$为群$G$的两个有限子群,证明
$$|HK|=frac{|H|cdot|K|}{|Hcap K|}.$$
证明 注意到$(Hcap K)<H$,设$frac{|H|}{|Hcap K|}=n$,那么有左陪集分解
egin{align*}H&=igcup_{i=1}^{n}h_{i}(Hcap K)\&=igcup_{i=1}^{n}left(Hcap h_{i}K ight) ag{1}\&=Higcapleft(igcup_{i=1}^{n}h_{i}K ight)end{align*}
其中(1)式子用到了如下事实:
$$g(Hcap K)=gHcap gK,gin G.$$
从而可知$Hsubsetigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$,进一步的
$$HKsubsetigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$$
另一方面每个$h_{i}Ksubset HK$,从而
$$igcup_{i=1}^{n}h_{i}Ksubset HK$$
因此$HK=igcup_{i=1}^{n}h_{i}K$,两边求阶数便得
$$|HK|=n|K|=frac{|H|cdot|K|}{|Hcap K|}$$
5.设$A,B$是群$G$的两个子群,证明:
(1)$AB< G$等价于$AB=BA$;
(2)$A,B$中若有一个是正规的,那么$AB<G$;
(3)若$A,B$均正规,那么$ABlhd G$.
证明 (1)必要性：若$AB<G$,那么
$$AB=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=BA$$
充分性：设$AB=BA$,那么对任意的$a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}in AB$有
egin{align*}a_{1}b_{1}b_{2}^{-1}a_{2}^{-1}&=a_{1}b_{1}a_{3}b_{3}\&=a_{1}a_{4}b_{4}b_{3}\&=a_{5}b_{5}in AB\Rightarrow AB&<G.end{align*}
(2)不是一般性,设$Alhd G$.同样的考虑
egin{align*}a_{1}b_{1}b_{2}^{-1}a_{2}^{-1}&=a_{1}b_{1}a_{3}b_{2}^{-1}\&=a_{1}a_{4}b_{1}b_{2}^{-1}in AB\Rightarrow AB&<G.end{align*}
(3)由(2)知$AB<G$,$forall gin G$,考虑
egin{align*}gABg^{-1}&=gAg^{-1}gBg^{-1}=ABend{align*}
从而$ABlhd G.$