一个复平面上的不等式

设$z_{1},cdots,z_{N}inmathbb C$,证明存在${1,2,cdots,N}$的子集$S$使得$$left|sum_{kin S}z_{k} ight|geqfrac{1}{pi}sum_{k=1}^{N}|z_{k}.|$$

证明    设$z_{k}=|z_{k}|e^{i heta_{k}}$,那么对任意的

egin{align*}0leq hetaleq2piend{align*}

令集合egin{align*}S( heta)={k:cos( heta_{k}- heta)>0}end{align*}

所以egin{align*}left|sum_{kin S( heta)}z_{k} ight|&=left|sum_{kin S( heta)}e^{-i heta}z_{k} ight|\&geqsum_{kin S( heta)}|z_{k}|cos( heta_{k}- heta)\&=sum_{k=1}^{N}|z_{k}|cos^+( heta_{k}- heta)end{align*}

所以我们选取适当的$ heta$使得右端取值最大,取此时的集合为$S$,而且右端的这个最大值$M$必然满足

egin{align*}M&geqfrac{1}{n}sum_{j=1}^{n}sum_{k=1}^{N}|z_{k}|cos^+( heta_{k}- heta_{j}),forall ninmathbb Nend{align*}其中$ heta_{j}in[0,2pi]$,特别的我们限制每个

egin{align*} heta_{j}inleft[frac{(j-1)2pi}{n},frac{j2pi}{n} ight]end{align*}

并令$n oinfty$可得

egin{align*}M&geqfrac{1}{2pi}sum_{k=1}^{N}|z_{k}|int_{0}^{2pi}cos^+( heta_{k}-x){ m d}x\&=frac{1}{2pi}sum_{k=1}^{N}|z_{k}|int_{0}^{2pi}frac{cos( heta_{k}-x)+|cos( heta_{k}-x)|}{2}{ m d}x\&=frac{1}{pi}sum_{k=1}^{N}|z_{k}|end{align*}

即egin{align*}left|sum_{kin S}z_{k} ight|geqfrac{1}{pi}sum_{k=1}^{N}|z_{k}|end{align*}