1.设$R$是交换整环,$R[x]$是$R$上的一元多项式环,$f,gin R[x]$.证明:
$${ m deg}fcdot g={ m deg}f+{ m deg}g$$
试问对于一般的交换幺环,上式是否成立?
证明 设$f=a_{0}+a_{1}x+cdots+a_{n}x^n,g(x)=b_{0}+b_{1}x+cdots+b_{m}x^m$,其中$a_{n},b_{m} eq0$.由于$R$无零因子,因此$a_{n}b_{m} eq0$,显然$${ m deg}fcdot g=m+n={ m deg}f+{ m deg}g.$$
对于一般的交换幺环上式并不一定成立,比如在$mathbb Z_{6}[x]$中考虑$$f(x)=2x^4,g(x)=3x$$
显然${ m deg}f(x)g(x)=0 eq 4+1$.
2.设$R$是交换整环,$F$是$R$的分式域,$F[x]$是$F$上的一元多项式环.证明$R[x]$是$R$的一元多项式环且$R[x]$与$F[x]$有相同的分式域.
证明 由于$Rsubset F$,而$x$是$F$上的超越元,因而也是$R$上的超越元,所以$R[x]$构成$R$上的一元多项式环.设$R[x]$的分式域为$A$,$F[x]$的分式域为$B$,显然$Asubset B$.再证另一半,任取$frac{f}{g}in B$,其中$f=a_{0}+a_{1}x+cdots+a_{n}x^nin F[x]$,并且每个$$a_{i}=frac{p_{i}}{q_{i}},(p_{i}in R,q_{i}in R^*)$$
令$r=prod_{i=0}^{n}q_{i}in R^*$,则$$f=frac{1}{r}left(a_{0}'+a_{1}'x+cdots+a_{n}'x^n ight),(a_{i}'in R)$$
同理$g=frac{1}{s}left(b_{0}'+b_{1}'x+cdots+b_{n}'x^n ight),(sin R^*,b_{i}'in R)$
因此$$frac{f}{g}=frac{sleft(a_{0}'+a_{1}'x+cdots+a_{n}'x^n ight)}{rleft(b_{0}'+b_{1}'x+cdots+b_{n}'x^n ight)}in A$$
因此$Bsubset A$.从而$A=B$.
3.设$mathbb Q$为有理数域.证明$omega=-frac{1}{2}+frac{sqrt{-3}}{2}$是$mathbb Q$上的代数元且$$mathbb Q[omega]simeqmathbb Q[x]/<x^2+x+1>.$$
证明 显然$omega^3-1=0$,所以$omega$是$mathbb Q$上的代数元.现做映射egin{align*}phi:mathbb Q[x]& o mathbb Q[omega]\f(x)&mapsto f(omega)end{align*}
不难验证$phi$是满同态.我们来看其同态核${ m Ker}phi$,设$f(omega)=0，finmathbb Q[x]$,注意到$$omega^2+omega+1=0$$
且显然对任意的次数不超过$1$的有理系数多项式$g$,都有$g(omega) eq0$.据高等代数的知识显然$x^2+x+1ig|f(x)$,那么易知同态核即为主理想$<x^2+x+1>$,因而据环同态基本定理可知$$mathbb Q[omega]simeqmathbb Q[x]/<x^2+x+1>.$$
4.证明$u=sqrt2+sqrt3$是$mathbb Q$上的代数元,并求$mathbb Q[x]$的理想$I$使得$$mathbb Q[x]/Isimeq mathbb Q[u].$$
解答 注意到$u^4-10u^2+1=0$,从而$u$是$mathbb Q$上的代数元.作映射egin{align*}phi:mathbb Q[x]& omathbb Q[u]\f(x)&mapsto f(u)end{align*}
显然$phi$是同态满射.考虑其同态核,与上题类似可知同态核${ m Ker}phi$即为主理想$<x^4-10x^2+1>$,因此取$I=<x^4-10x^2+1>$,再据环同态基本定理便有$$mathbb Q[x]/Isimeq mathbb Q[u].$$
5.设$I$是交换幺环$R$的理想,令$I[x_{1},cdots,x_{n}]$是$R[x_{1},cdots,x_{n}]$中系数在$I$中的多项式的集合.证明:
(1)$I[x_{1},cdots,x_{n}]$是$R[x_{1},cdots,x_{n}]$的理想;
(2)$R[x_{1},cdots,x_{n}]/I[x_{1},cdots,x_{n}]simeq(R/I)[y_{1},cdots,y_{n}]$,其中$y_{1},cdots,y_{n}$在$R/I$上代数无关.
证明 (1)任取$f,gin I[x_{1},cdots,x_{n}]$,由于$I$是理想,显然$f-gin I$,且对任意的$hin R[x_{1},cdots,x_{n}]$,如果设egin{align*}f&=sum_{k_{1},cdots ,k_{n}}a_{k_{1}cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}cdots x_{n}^{k_{n}},a_{k_{1}cdots k_{n}in I}\h&=sum_{l_{1},cdots ,l_{n}}b_{l_{1}cdots l_{n}}x_{1}^{l_{1}}cdots x_{n}^{l_{n}},a_{l_{1}cdots l_{n}in R}end{align*}
而$hf$的系数均形如$$sum a_{i_{1}cdots i_{n}}b_{j_{1}cdots j_{n}}in I$$
所以$I[x_{1},cdots,x_{n}]$是$R[x_{1},cdots,x_{n}]$的理想.
(2)作映射egin{align*}phi:R[x_{1},cdots,x_{n}]& o(R/I)[y_{1},cdots,y_{n}]\sum_{k_{1},cdots ,k_{n}}a_{k_{1}cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}cdots x_{n}^{k_{n}}&mapstosum_{k_{1},cdots ,k_{n}}overline{a_{k_{1}cdots k_{n}}}y_{1}^{k_{1}}cdots y_{n}^{k_{n}}end{align*}
容易验证$phi$是满同态,且同态核$${ m Ker}phi=I[x_{1},cdots,x_{n}]$$
据同态基本定理便知$$R[x_{1},cdots,x_{n}]/I[x_{1},cdots,x_{n}]simeq(R/I)[y_{1},cdots,y_{n}].$$
6.设$R$是一个环,令$$R[[x]]={(a_{0},a_{1},cdots)=sum_{n=0}^{infty}a_{n}x^n|a_{n}in R}$$
并在$R[[x]]$中定义加法和乘法:egin{align*}sum_{n=0}^{infty}a_{n}x^n+sum_{n=0}^{infty}b_{n}x^n&=sum_{n=0}^{infty}(a_{n}+b_{n})x^n\sum_{n=0}^{infty}a_{n}x^ncdotsum_{n=0}^{infty}b_{n}x^n&=sum_{n=0}^{infty}left(sum_{i+j=n}a_{i}b_{j} ight)x^nend{align*}
证明$R[[x]]$是一个环(称为$R$上的形式幂级数环).
证明 显然${R[[x]];+}$构成Abel群,乘法对加法的分配律也是显然的,我们来验证一下乘法的结合律egin{align*}left(sum_{n=0}^{infty}a_{n}x^ncdotsum_{n=0}^{infty}b_{n}x^n ight)sum_{n=0}^{infty}c_{n}x^n&=sum_{n=0}^{infty}left(sum_{i+j=n}a_{i}b_{j} ight)x^ncdotsum_{n=0}^{infty}c_{n}x^n\&=sum_{n=0}^{infty}left(sum_{i+j=n}sum_{p+q=i}a_{p}b_{q} ight)c_{j}x^n\&=sum_{n=0}^{infty}left(sum_{p+q=n}a_{p}sum_{i+j=q}b_{i}c_{j} ight)x^n\&=sum_{n=0}^{infty}a_{n}x^nleft(sum_{n=0}^{infty}b_{n}x^ncdotsum_{n=0}^{infty}c_{n}x^n ight)end{align*}
所以${R[[x]];cdot}$构成半群.从而$R[[x]]$是环.
7.设$M$是一个幺半群,$R$是交换幺环.令$$R[M]={f|f:M o R,|Msetminus f^{-1}(0)|<infty}$$
在$R[M]$中定义加法和乘法:egin{align*}(f+g)(m)&=f(m)+g(m)\(fcdot g)(m)&=sum_{qp=m}f(p)g(q)end{align*}
证明$R[M]$为一环(称为$M$在$R$上的幺半群环或幺半群代数).
证明 先来说明加法和乘法的封闭性,由题意对任意的$fin R[M]$等价于$f$取值不为零的点有限,由此显然$$f+gin R[M],fcdot gin R[M]$$
易验证${R[M];+}$构成Abel群,零元为$0$.再来考虑${R[M];cdot}$,结合律容易验证.所以说$R[M]$是环.
8.设$R$为交换幺环,$M$为非负整数对加法构成的幺半群.证明$M$在$R$上的幺半群环$R[M]$与$R$上的一元多项式环$R[x]$同构.
证明 任取$fin R[M]$,令$$g_{f}(x)=sum_{i=0}^{infty}f(i)x^i$$.做映射egin{align*}phi:R[M]& o R[x]\f&mapsto g_{f}end{align*}
易证$phi$是环同构.因此$$R[M]simeq R[x].$$