取$B(0,1)setminus{0}$上的调和函数$log|z|$,那么他不可能是$B(0,1)setminus{0}$上某个全纯函数的实部.否则设
$$f(z)=log|z|+iu(z)in H(B(0,1)setminus{0})$$
其中$u(z)$是实值的.那么$e^{f(z)}=|z|e^{iu(z)}$,所以$$left|frac{e^{f(z)}}{z} ight|equiv1$$
所以$frac{e^{f(z)}}{z}$常值,所以存在$ hetain(-pi,pi]$使得egin{align*}e^{f(z)}&=ze^{i heta}\Rightarrow u(z)&= heta+{ m arg}z+2k(z)piend{align*}
其中$k(z)$为取值为$mathbb Z$的函数,而由$u(z)$的连续性可知$k(z)$常值,那么$${ m arg}z=u(z)- heta-2kpiin C(B(0,1)setminus{0})$$
这是不可能的.因为${ m arg}$在负实轴上是间断的.