称行列式$$det A=detleft(frac{1}{a_{i}+b_{j}} ight)_{n imes n}$$为Cauchy行列式,我们来计算他：
由于$$detleft(frac{1}{a_{i}+b_{j}} ight)_{n imes n}=frac{1}{prodlimits_{1leq i,jleq n}(a_{i}+b_{j})}det(c_{ij})_{n imes n}$$
如果将$a_{1},cdots,a_{n},b_{1},cdots,b_{n}$视作变量,那么每个$c_{ij}$都是一个$n-1$次的多元多项式,因此$det(c_{ij})_{n imes n}$的结果必然是一个$n(n-1)$次的多元多项式$f(a_{1},cdots,a_{n},b_{1},cdots,b_{n})$(简记作$f$).
如果我们将$a_{1}$视作变量,而其余视作常数,那么显然当$a_{1}=a_{k},k=2,3,cdots,n$时,必然有$$f=det(c_{ij})_{n imes n}=0$$
从而$f$有因子$(a_{1}-a_{k}),k=2,3,cdots,n$;以此类推可知$f$含有因子$$g=prod_{1leq i<jleq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})$$
注意到$${ m deg }g=2 imesinom{n}{2}={ m deg}f$$
因此$f$和$g$仅相差一个非零常系数.即$$det A=frac{Cprodlimits_{1leq i<jleq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{prodlimits_{1leq i,jleq n}(a_{i}+b_{j})}$$我们来求这个系数$C$,现令$$a_{i}=frac{1}{2}+ix,b_{j}=frac{1}{2}-jx$$,那么$$det A=detleft(frac{1}{1+(i-j)x} ight)_{n imes n}$$
注意到上式的结果对于充分大的$x$是连续的,从而我们令$x oinfty$可知$$det A=1$$
而此时egin{align*}lim_{x oinfty}frac{prodlimits_{1leq i<jleq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{prodlimits_{1leq i,jleq n}(a_{i}+b_{j})}&=lim_{x oinfty}frac{prodlimits_{1leq i<jleq n}(i-j)x(j-i)x}{prodlimits_{1leq i,jleq n}(1+(i-j)x)}\&=frac{-prodlimits_{1leq i<jleq n}(i-j)^2}{prodlimits_{1leq i,jleq n,i eq j}(i-j)}=1\Rightarrow C&=1end{align*}
综上便知$$detleft(frac{1}{a_{i}+b_{j}} ight)_{n imes n}=frac{prodlimits_{1leq i<jleq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{prodlimits_{1leq i,jleq n}(a_{i}+b_{j})}$$